ကဲကုလပ္စ္သခၤ်ာႏွင့္ ေနာက္ခံသေဘာတရားမ်ား

ကၽြႏ္ုပ္တို ့ႏွင့္ ကဲကုလပ္စ္ (Calculus) သခ်ၤာ 

လူ ့အသိတရားရဲ့အသီးအပြင့္တစ္ခုအျဖစ္ မွတ္တိုင္သစ္္စိုက္ထူႏိုင္ခဲ့တဲ့၊ နယ္ပယ္ေပါင္းစံုမွာ ထဲထဲ၀င္၀င္ အသံုးခ်ေနတဲ့၊ အဆင့္ျမင့္ Theory ေတြ အေတြးအေခၚေတြ အသစ္အသစ္ေသာ ပညာရပ္ေတြကို အေကာင္းဆံုး ခ်ဥ္းကပ္နားလည္ႏိုင္ေစမယ့္ ဒီ Calculus သခၤ်ာပညာရပ္ကို ကၽြန္ေတာ္တို ့ ဘယ္ပံုဘယ္နည္း စတင္ ထိေတြ ့သင္ယူခဲ့ၾကပါသလဲ။

ဒီကေန ့ကၽြန္ေတာ္တို ့ထိေတြ ့သင္ယူခဲ့ၾကတဲ၊့ သင္ယူေနၾကတဲ့ Calculus ဟာ တကယ္ေတာ့ သခၤ်ာပညာရဲ့ လွပမႈ နဲ ့ သခၤ်ာပညာေရးရဲ့ အက်ည္းတန္မႈျပယုဒ္တစ္ခုျဖစ္ေနပါတယ္။ မွန္ပါတယ္.. ကံမေကာင္း အေၾကာင္းမလွစြာပဲ သခၤ်ာပညာေရးမွာ ဘာေတြမွားယြင္းေနသလဲဆိုတာကို Calculus က အေကာင္းဆံုးသက္ေသခံေနသလိုပါပဲ။ 

အျပင္ေလာကနဲ ့ဆက္စပ္မရတဲ့ပုစၦာေတြ၊ ပံုစံေသျဖစ္ေနတဲ့ သင္ခန္းစာေတြ၊ ရႈပ္ေထြးျပီးနားလည္ဖို ့ ခက္ခဲတဲ့သက္ေသျပခ်က္ေတြ၊ ဘုမသိ ဘမသိအလြတ္မွတ္ထားရတဲ့ သေကၤတေတြ နဲ ့ ဘယ္ကဘယ္လိုေပၚလာမွန္းမသိတဲ့ ပံုေသနည္းေပါင္းေသာင္းေျခာက္ေထာင္ဟာ ကၽြန္ေတာ္တို ့ ရဲ့ က်ိဳးေၾကာင္းဆင္ျခင္တံုတရားနဲ ့ ဆက္စပ္နားလည္သေဘာေပါက္မႈ ကိုအလဲထိုးအႏိုင္ယူသြားပါေတာ့တယ္။

ဒါေၾကာင့္လဲ ကၽြန္ေတာ္တို ့ရဲ့ အဆင့္ျမင့္ပညာအဆင့္ ျဖစ္တဲ့   တကၠသိုလ္၊ ေကာလိပ္ နဲ ့ သက္ေမြး အင္ဂ်င္နီယာ သိပၸံေတြမွာ (ဒီ “အဆင့္ျမင့္ပညာ” ဆိုတဲ့စကားလံုးသံုးရတာ ကၽြန္ေတာ္အေနနဲ ့ လိပ္ျပာမလံုပါ။) မိမိရဲ့အထူးျပဳဘာသာရပ္ေပၚမူတည္ျပီး၊ အနည္းဆံုး ၂-ႏွစ္ ကေန၊ ၃-၄-၅ ႏွစ္ထိ သင္ယူခြင့္ရခဲ့ၾကတဲ့ ဒီ Calculus သခၤ်ာပညာရပ္ဟာ၊ ေက်ာင္းျပီးလို ့ အလုပ္ထဲ(စာသင္တာကလြဲလို ့)ေရာက္တဲ့အခ်ိန္ကစျပီး “ျမဳပ္ေလခ်ည့္ေပၚမလာ”၊  “ေနလာႏွင္းေပ်ာက္” ျဖစ္ျပီး “တခ်ံဳကြယ္ တမယ္ေမ့” ကာ “တစိမ္းျပင္ျပင္” ဘ၀ေရာက္ရပါေတာ့တယ္။

ကၽြန္ေတာ္က အဲဒီလိုဆိုတဲ့အခါ၊ တကယ့္ကိုအနဲစုျဖစ္တဲ့၊ နဲနဲ ခပ္စြာစြာလူတဦးတေလကသာ “ဟာ…Calculus..ကတကယ္အသံုး၀င္တာေပါ့..ဒီေလာက္ေန ့စဥ္ဘ၀ေတြမွာ သံုးစြဲေနတာဗ်ာ၊ ခင္ဗ်ားၾကိဳက္တဲ့ေနရာၾကည့္ Calculus  နဲ ့မလြတ္ဘူး၊ ခင္ဗ်ားအလုပ္ကို ကားေမာင္းသြားတာကအစ၊ ဂြတခု က်ပ္တာကအစ၊ ေလယာဥ္ေမာင္းတာ ပ်ံတာအလယ္၊ အာကာသယာဥ္လႊတ္တာအဆံုး၊ ေနရာတိုင္းမွာ ေန ့ တိုင္းသံုးေနတာေပါ့ဗ်”  …လို ့ဆိုၾကတယ္။ အဲဒီလိုၾကားရရင္ ကၽြန္ေတာ္ေတာ့ ေတာ္ေတာ္ေလးကို စိတ္ပ်က္မိတယ္ဗ်ာ။ ဒါဟာလူတိုင္းသိတာေပါ့။ ဘယ္သူကမွလည္း ဒီလုိ ၾကီးက်ယ္ျမင့္ျမတ္စြာ အသံုး၀င္မႈကို မျငင္းပယ္ပါဘူး။ Calculus အပါအ၀င္၊ သခၤ်ာ တို ့ ရူပေဗဒ တို ့ဟာ ဘယ္ေလာက္အထိ အေရးပါ အရာေရာက္ ေၾကာင္း ခၽြင္းခ်က္မရွိလက္ခံၾကပါတယ္။

ဒါေပမယ့္၊ တကယ္တန္းက “ကၽြန္ေတာ္တို ့ဟာ  ေဗ်ာသံၾကားတရားနာ၊ ေလဖမ္း ၀ါးတန္းခ်ည္၊ ေလဖမ္း ဒန္းစီး ျပီး သူမ်ားေျပာတာၾကားဖူးတဲ့အတိုင္း၊ ပညာရွင္ေတြေျပာတဲ့အတိုင္း ဒီပညာရပ္ေတြအသံုး၀င္ေၾကာင္း၊  လိုက္ေျပာေနတာသာျဖစ္တယ္”၊ ဒီပညာရပ္ကို၊ ကိုယ္ကိုတိုင္ရွင္းရွင္းလင္းလင္း သိျမင္ နားလည္ သေဘာေပါက္ျပီး၊ ကိုယ္ကိုတိုင္ လက္ေတြ ့အသံုးခ်ေနတာ၊ အသံုးခ်ႏိုင္တာမွ မဟုတ္ပဲဗ်ာ။ ဒါကို ပြင့္လင္းရိုးသားစြာ၀န္မခံပဲ အဲဒီလို “ငါ့စကား ႏြားရ” စကားႏိုင္လုေျပာေနၾကရံုသက္သက္နဲ ့ေတာ့၊ ကၽြန္ေတာ္တုိ ့ဟာ ဘာကိုမွ မတည္ထြင္ႏိုင္၊ မဖန္တီးႏိုင္၊ မဆန္းသစ္ႏိုင္၊ မေတြးေခၚႏိုင္တဲ့ “ဘြဲ ့ရ” အဆင့္က ေန တက္မွာမဟုတ္ေတာ့ဘူး။ ကၽြန္ေတာ္တို ့တကယ္ ပညာမတတ္ပဲနဲ ့ ဗုန္းဗုန္းလဲေနတဲ့ ကၽြန္ေတာ္တို ့ႏိုင္ငံ ကို ဘယ္လို ဆြဲထူႏိုင္မွာလဲဗ်ာ။ ထားပါေလ၊ ဒါေတြေျပာရင္ေတာ့ သိတဲ့အတိုင္း ေဒါေတြပါလာေတာ့မွာကိုး။

ဒါေၾကာင့္ အခုလိုျဖစ္ပ်က္ေနရတဲ့ အေျခအေနကို ကိုယ္ညာဏ္မီသေလာက္ ေစ့ငုဆင္ျခင္ၾကည့္တဲ့အခါ၊ [ကိုုယ္ကရိုးရိုးပဲေတြးတတ္ေတာ့] အေျဖကလဲရိုးရိုးပဲထြက္တယ္ဗ်ာ။ ကၽြန္ေတာ္တို ့ဟာ အစမေကာင္းခဲ့လို ့ အေႏွာင္းမေသခ်ာ ေတာ့တာပါပဲ။

တကယ္ျဖစ္သင့္တာက ပညာရပ္တစ္ခုကိုသင္ေတာ့မယ္ဆိုရင္ ၊ အဲဒီ ပညာရပ္ ရဲ့ သမိုင္း ေနာက္ခံအေျခအေန၊ ဘယ္လို လိုအပ္မႈရွိခဲ့လို ့ ဘယ္လိုအေျခအေနေတြကေတာင္းဆိုခဲ့လို ့ ဒီပညာရပ္ကိုတည္ထြင္ ၾကံဆခဲ့ၾကတယ္၊ မူလဘူတ ကနဦး တည္ထြင္ၾကံဆခဲ့ဲၾကသူေတြရဲ့ လုပ္ပံု ကိုင္ပံု ေဆာင္ရြက္ပံု ေတြးေခၚပုံ နဲ ့ ခ်ဥ္းကပ္ခဲ့ပံု ေတြကို စတင္မိတ္ဆက္သင္ၾကားသင့္ပါတယ္။ ျပီးေတာ့ အေရးအၾကီးဆံုးက ဒီလိုပညာရပ္အသစ္တခုကို စတင္သင္ၾကားတဲ့အခါ ၊ အားလံုး သိျပီးသား ရွိျပီးသား ရင္းႏွီးကၽြမ္း၀င္ျပီးသား နားလည္သေဘာေပါက္ဖို ့လြယ္ကူတဲ့၊ လက္ေတြ ့နဲ ့ဆက္စပ္နားလည္ ျမင္သာႏုိင္မယ့္ အရာေတြနဲ ့ ယွဥ္တြဲ ျပတဲ့နည္းနဲ ့ စတင္သင္ၾကားသင့္ပါတယ္။ ဒါမွသာ ပညာရပ္ကို က်ိဳးေၾကာင္းဆက္စပ္နားလည္ျပီး  ေကာင္းစြာ သေဘာေပါက္ႏိုင္ေတာ့ေပမေပါ့။

ဒါေၾကာင့္ အုပ္တခ်ပ္ပဲျဖစ္ျဖစ္၊ သဲတပြင့္ပဲျဖစ္ျဖစ္၊ ႏွမ္းတလံုးပဲျဖစ္ျဖစ္၊ “စရည္းအိုးခြက္၊ ၾကီးစြာလ်က္လည္း၊ တစက္က်မ်ား၊ ျပည့္ေသာလားသို ့” ဆိုတဲ့ ထံုးႏွလံုးမူျပီး၊  ဒီေဆာင္းပါးမွာ Calculus ရယ္လို ့ မျဖစ္ေသးခင္ကတည္းက၊ Calculus ရယ္လို ့ျဖစ္လာမယ့္၊ မူလကနဦး ေတြးေခၚေဆာင္ရြက္ခ်က္ေတြကို တတ္ႏိုင္သေလာက္တင္ျပလိုက္ရပါေၾကာင္း။

=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/

 Calculus ၏ ေနာက္ခံသေဘာတရားမ်ား

လက္တင္စကား ကဲကုလပ္စ္(Calculus) ရဲ့ အဓိပၸါယ္က [ေရတြက္ရာတြင္သံုးေသာ]ေက်ာက္ခဲကေလး လို ့ အဓိပၸါယ္ရပါတယ္။ ဘီစီ ၃ ရာစု ေလာက္ကတည္းက ဂရိေတြးေခၚပညာရွင္ၾကီး ပေလတိုး[Plato] ရဲ့တပည့္ေတြျဖစ္ၾကတဲ့၊   နကၡတၱေဗဒ နဲ ့ သခၤ်ာပညာရွင္ ယူဒိုးဆုစ္ Eudoxus of Cnidus (410 or 408 BC – 355 or 347 BC :) တို ့၊ အရစ္စတိုတယ္  Aristotle (384 BC – 322 BC : အလက္ဇန္းဒါးသည္ဂရိတ္ [Alexander the Great]ရဲ့ဆရာ  ) တို ့ဟာ မ်ဥ္းေကြးေတြေၾကာင့္ ျဖစ္လာတဲ့ ဧရိယာ(Area under curve)အေပၚမွာ  စိတ္၀င္စားခဲ့ၾကတယ္။ အဲဒီလို ဧရိယာမ်ိဳးေတြရွာတဲ့ေနရာမွာ၊ ေထာင့္မွန္စတုဂံပံုေတြကို အဲဒီဧရိယာအတြင္းမွာ ဆြဲသားတဲ့နည္းနဲ ့ခန္ ့ မွန္းတြက္ခ်က္ခဲ့ၾကတယ္။ 

ဥပမာ ေအာက္မွာ ျပထားတဲ့ ပံုရဲ့ မီးခိုးေရာင္ခ်ယ္ထားတဲ့အပိုင္းရဲ့ ဧရိယာ ရွာခ်င္တယ္ဆိုပါေတာ့

အဲဒီရွာခ်င္တဲ့ အပိုင္းထဲမွာ ေဟာဒီလို ေထာင့္မွန္စတုဂံပုံေတြဆြဲထည့္လိုက္တယ္။ အားလံုးသိၾကတဲ့အတိုင္း ေထာင့္မွန္စတုဂံေတြရဲ့ ဧရိယာကိုေတာ့ အလြယ္တကူရွာလို ့ရတာကိုး။

ျပီးေတာ့မွ အဲဒီ ေထာင့္မွန္စတုတစ္ခုခ်င္းရဲ့ ဧရိယာေတြကို ေပါင္းလိုက္တဲ့အခါ၊ သူရွာခ်င္ေနတဲ့ မီးခိုးေရာင္ ဧရိယာရဲ့ ခန္ ့မွန္းတန္ဘိုးရလာတယ္။ ေအာက္မွာ ျပထားသလို ေထာင့္မွန္စတုဂံငယ္ငယ္ေလးေတြသံုးျပီး ရွာေလေလ၊ရလာတဲ့ ခန္ ့မွန္းဧရိယာတန္ဘိုးနဲ ့ တကယ့္အမွန္ဧရိယာတန္ဘိုးက၊ ပိုျပီးနီးစပ္လာေလေလေပါ့။

 

Eudoxus က ဒီနည္းကို “Method of Exhaustion” လို ့ ေခၚေ၀ၚခဲ့တယ္။

[တကယ္ေတာ့ ဒီသေဘာတရားနဲ ့ အႏွစ္သာရဟာ မိတ္ေဆြတို ့ ရဲ့ Calculus သင္ယူမႈခရီးစဥ္တေလ်ာက္မွာ ၾကံဳေတြ ့ခဲ့ရတဲ့၊ ထင္ရွားတဲ့ ဂ်ာမန္သခၤ်ာပညာရွင္ ရီးမန္း (Georg Friedrich Bernhard Riemann  : September 17, 1826 – July 20, 1866)[ယာပံု] ရဲ့ ရီးမန္းေပါင္းျခင္း(Riemann Sum)ရဲ့ အႏွစ္သာရ နဲ ့ သေဘာတရားျခင္း အတူတူပဲေပါ့ဗ်ာ။]

ယူကလစ္(Euclid)ဟာ ဒီ (Method of Exhaustion)နည္းကိုသံုးျပီး သူရဲ့ အဆိုျပဳခ်က္(Proposition) ေျခာက္ခု ကို သက္ေသျပခဲ့သလို၊ အာခိမိဒီးစ္(Archimedes) ကလည္း ဒီနည္းကိုပဲ သံုးျပီး စက္၀ိုင္းတစ္ခုရဲ့ ဧရိယာရွာတဲ့အခါမွာ  အဲဒီစက္၀ိုင္းအတြင္းထဲမွာ ဗဟုဂံ(Polygon)ေတြကို အနားအေရအတြက္ တိုးတိုးျပီး ဆြဲၾကည့္တဲ့နည္းနဲ ့  စက္၀ုိင္းရဲ့ ဧရိယာကိုရွာႏိုင္ေၾကာင္း သက္ေသျပခဲ့တယ္။

ဒါေၾကာင့္ တကယ္ေတာ့ ဒီ Calculus ရဲ့ အႏွစ္သာရ နဲ ့ေနာက္ခံအေၾကာင္းရင္းက

၁။ ရႈပ္ေထြးျပီး ရွင္းရခက္တဲ့၊ ပံုစံ(Model)စံနစ္တက် တည္ေဆာက္ျပီးသားမရွိေသးတဲ့ ၾကီးမားတဲ့အရာတစ္ခုကို၊ ပိုမိုရွင္းလင္းျပီး ကိုင္တြယ္ရလြယ္ကူတဲ့(နားလည္ဖို ့လြယ္ကူတဲ့) ၊ ကိုယ္နဲ ့ ရင္းႏွီးကၽြမ္း၀င္ျပီးသားပံုစံ(Model) အပိုင္းကေလးေတြအျဖစ္ခြဲထုတ္လိုက္ျခင္း( Differentiation သေဘာတရား) နဲ ့

၂။ အဲဒီ ရွင္းလင္းတဲ့ပံုစံရျပီးသား အရာေလးေတြ အားလံုးကို (ျပန္လည္)ေပါင္းစည္းလိုက္ျခင္း ျဖင့္   ကိုယ္ လိုခ်င္တဲ့ ရႈပ္ေထြးတဲ့ Model ကို ျပန္လည္တည္ေဆာက္ရယူျခင္းဆိုတဲ့  Integration သေဘာတရားပဲေပါ့ဗ်ာ။

ကဲ..ဟုတ္ပါျပီဗ်ာ…ခု မိတ္ေဆြတို ့ေတြ ့ခဲ့ရတဲ့ Eudoxus ရဲ့ Method of Exhaustion မွာ သိပ္ကိုသိသာထင္ရွားတဲ့အခ်က္ကေတာ့ ကိုယ္ခြဲထုတ္စိပ္ပိုင္းလိုက္တဲ့ “ေထာင့္မွန္စတုဂံေတြက ပိုျပီး ငယ္လာေလေလ ခန္ ့မွန္းဧရိယာတန္ဘိုးက ပိုျပီးနီးစပ္လာေလ” ဆိုတာပဲ။ ဒါဆို ကၽြန္ေတာ္တို ့ ဘယ္ေလာက္ေသးငယ္တဲ့ အထိ ခြဲၾက စိပ္ၾက မလဲ။ ငယ္ေလေကာင္းေလပဲ…ဘာလို ့လဲဆိုေတာ့.ကၽြန္ေတာ္ တို ့ခြဲစိပ္ တာ ငယ္လာတာနဲ ့အမွ် …ခန္ ့မွန္းဧရိယာတန္ဘိုးနဲ ့ တကယ့္ဧရိယာတန္ဘိုးဟာ  ခြဲမရေတာ့ေလာက္ေအာင္(ကြာျခားမႈမရွိေတာ့ေလာက္ေအာင္)ကို တူညီလာေလေပါ့။ ဒါဟာ Calculus မွာ အလြန္အေရးပါတဲ့  Inifinitesimal(ကိန္းအားလံုးထက္ေသးငယ္ေသာ၊ အလြန္အမင္းေသးငယ္ေသာ) ဆိုတဲ့ သေဘာတရားပဲေပါ့။ အလြန္ ့အလြန္ကိုငယ္တယ္။ သုညနဲ ့ေတာင္(သာမန္ဆို)ခြဲမရဘူး။ ဒါေပမဲ့ သုညေတာ့မဟုတ္ဘူး။  အိုေက..ဒါဟာ..မိတ္ေဆြတို ့ Differential Calculus မွာ ေတြ ့ေနတဲ့ “Limit” ရဲ့သေဘာတရားပဲေပါ့။  “ကိန္းရွင္တစ္ခု သည္ သုညသို ့ခ်ဥ္း ကပ္လာေသာ္…. lim(x approaches to 0) ” လို ့မိတ္ေဆြတို ့ ေျပာေျပာေနတဲ့ အရာရဲ့ ေနာက္ခံ အႏွစ္သာရပဲေပါ့။

အိုေကဗ်ာ…ဒါဆိုကၽြန္ေတာ္တို ့ အရွိန္ေလးရေနတုန္း ေရွ႕ဆက္ျပီး တစ္ဆင့္ေလာက္ထပ္အားထုတ္ လိုက္ၾကဦးစို ့ရဲ့။ အားလံုးသိၾကတဲ့အတိုင္း…..

+Arithmetic (ဂဏန္းသခၤ်ာ) ဆိုတာ ကိန္း (number) ေတြကို ေပါင္း၊ ႏႈတ္၊ ေျမွက္၊ စား လုပ္တဲ့ပညာရပ္။

+Algebra(အကၡရာသခၤ်ာ)ဆိုတာ အဲဒီကိန္း(number)ေတြ အခ်င္းခ်င္းရဲ့ တခုနဲ ့ တခုဆက္သြယ္ခ်က္(Pattern) ကိုရွာတာ၊

[ဥပမာဗ်ာ.. ကမၻာေက်ာ္ ပိုက္သာဂိုးရပ္စ္ ရဲ့ ေထာင့္မွန္ၾတိဂံတစ္ခုရဲ့ အနားေတြအခ်င္းခ်င္းဆက္သြယ္ခ်က္ကို ျပတဲ့ a² + b² = c²    ဆိုတဲ့ ညီမွ်ခ်င္း(Equation)လို ဟာမ်ိဳးေပါ့။]

ကဲ…ဒါဆိုကဲကုလပ္စ္(Calculus)ကဘာလဲ?  ကဲကုလပ္စ္ကဘာလဲဆိုေတာ့…

+“ကဲကုလပ္စ္ ဟာ (အဲဒီလို) ညီမွ်ျခင္းေတြ အခ်င္းခ်င္းရဲ့ ဆက္သြယ္ခ်က္ကိုရွာတာ” ပဲဗ်ာ။

[မိတ္ေဆြတို ့ Calculus မွာ သံုးေနတဲ့ Function ဆိုတာ တကယ္ေတာ့ Equation ေတြပဲဆိုတာမေမ့ပါနဲ ့။ function of x ဆို တာ တကယ္ေတာ့ equation for y ပဲေပါ့ ။ x ၀င္ရုိးတစ္ေလ်ာက္ေျပာင္းလဲလာတဲဲ့ x  ရဲ့ တန္ဘိုးေတြကို  function လုပ္လိုက္ရင္ (တနည္း) x တန္ဘိုးကို ေပးထားတဲ့ equation ထဲမွာ အစားထိုး ထည့္သြင္းတြက္ခ်က္လိုက္ရင္  y တန္ဘိုးေတြ ရလာတာပဲ မဟုတ္လား။ အဲဒါေၾကာင့္ Calculus ဆိုတာ function ေတြအခ်င္းခ်င္းရဲ့ ဆက္သြယ္ခ်က္ကို ရွာတာ ဆိုရင္လည္း မမွားဘူး။ ဤကား စကားခ်ပ္။] 

ဥပမာဗ်ာ

+စက္၀ိုင္းတခုရဲ့ ပတ္လည္အ၀န္း (circumference) ကိုရွာတဲ့ equation နဲ ့ ဧရိယာကိုရွာတဲ့  equation

+စက္လံုးတစ္ခုရဲ့မ်က္ႏွာျပင္ ဧရိယာ ကိုရွာတဲ့ equation နဲ ့ စက္လံုးရဲ့ထုထည္ ကိုရွာတဲ့ equation 

ေတြဟာ နီးနီးစပ္စပ္ တစ္ခုနဲ ့တခု အျပန္အလွန္ ဆက္သြယ္ေနၾကတယ္ မထင္ရေပဘူးလား။ ေအာက္မွာ ၾကည့္ဗ်ာ….

ကဲ..ထင္ေနရံုနဲ ့ေတာ့မျပီးေသးဘူးဗ်ိဳ ့…လက္ေတြ ့ဥပမာေလးစလိုက္ၾကစို ့။

ဆိုပါေတာ့့…ကၽြန္ေတာ္တို ့ဟာ စက္၀ိုင္းတခုရဲ့ ပတ္လည္အနား ကိုရွာ တဲ့  ညီမွ်ျခင္း (Equation) ျဖစ္တဲ့၊   “ 2 * pi * r “ ေတာ့သိတယ္။ ဒါေပမယ့္ ရွာခ်င္တာက ဧရိယာ၊ (ပံုေသနည္းမသိဘူးပဲထားပါေတာ့ဗ်ာ။) ဘယ္လိုလုပ္ၾကမလဲ။

ကဲ ..ကၽြန္ေတာ္တို ့အေပၚမွာေဆြးေႏြးခဲ့တဲ့ ကဲကုလပ္စ္ ရဲ့ အႏွစ္သာရကိုမေမ့ဘူးဆိုရင္… ခြဲၾက..စိပ္ၾက..ပိုင္းၾက..ျဖတ္ၾက..စို ့ဗ်ာ။ (တနည္းေျပာရရင္ “ရွိတ္” တာေပါ့။)

ဆိုပါေတာ့…ေအာက္မွာေတြ ့ရတဲ့ပံုက၊ ဧရိယာရွာမယ့္ စက္၀ိုင္းပံုစာရြက္ေလးေပါ့။ မိတ္ေဆြဟာ..သူ ့ရဲ့(၎ Circle ပုံ စကၠဴျပား) ပတ္လည္အနားတစ္ေလ်ာက္ (ကတ္ေက်းနဲ ့)၊ အပ္ခ်ည္ၾကိဳးေလာက္ကိုေသးတဲ့ ေသးေသးမွ်င္မွ်င္ေလး ၊ ၀ိုက္ျပီး စက္၀ိုင္းပံု ကြင္း ကေလးေတြ ရလာေအာင္  ညွပ္(ျဖတ္) ဗ်ာ။ [တကယ္လုပ္ၾကည့္ဖို ့မလိုပါဘူး၊ ေအာက္မွာျပထားတဲ့ ပံုေတြၾကည့္လိုက္ရင္ ကို ပဲ ရွင္းပါတယ္။] ေသးေလ ေကာင္းေလ ဆိုတာလဲ မေမ့နဲ ့ေပါ့ဗ်ာ။

အဲ ဒီ ပထမဆံုး ရလာတဲ့ အၾကီးဆံုး ကြင္းရဲ့ radius ဟာ r ေပါ့၊ ဒါဆိုသူ ့ရဲ့ circumference က “ 2 * pi * r ” ေပါ့။ ဒီလိုနဲ ့၊ တျဖည္းျဖည္းကြင္းေတြကငယ္လာေလေလ၊ circumference က က်ံဳ ့(Shrink)လာေလေလ၊

အဲဒီ circumference က ဘယ္ေလာက္ က်ံဳ ့လာသလဲဆိုရင္ ၊ အပ္ခ်ည္တမွ်င္စာခ်င္း ေလ်ာ့ေလ်ာ့ ေလ်ာ့ေလ်ာ့ လာ တဲ့ radius နဲ ့ အခ်ိဳးၾက က်ံဳ ့လာတာေပါ့ဗ်ာ။ “ 2 * pi * r ” ဆိုတဲ့ပံုစံက ဘယ္ radius တန္ဘိုးအတြက္မဆို မွန္ေနတာကိုး။

[အင္း…မိတ္ေဆြတို ့မ်ားသတိထားမိသလားမသိဘူး၊ ဒါဟာတကယ္ေတာ့  circumference ကို radius နဲ ့ “ရွိတ္” ေနတာပဲ မဟုတ္လားဗ်ာ။]

တျဖည္းျဖည္း ကြင္းေလးေတြက ေသးလာလိုက္တာ ေနာက္ဆံုး အစက္ကေလးတစက္စာေလာက္ထိ ကို ငယ္လာမွာေပါ့။ အဲဒီအေျခအေနမွာ radius က zero, circumference က zero ျဖစ္တဲ့အေျခအေန၊ ထပ္ျပီး ခြဲစိပ္လို ့(ကြင္းလုပ္လို ့)မရေတာ့တဲ့ အေျခအေနေပါ့။

ကဲ…ဒီတခါ..အဲဒီကြင္းကေလးေတြအားလံုးကို ျဖန္ ့လိုက္ဗ်ာ။ အတုိအရွည္မတူတဲ့ ၾကိဳး ကေလးေတြရလာမွာေပါ့။ အဲဒီၾကိဳးကေလးေတြကို (အတို အရွည္ ေပၚမူတည္ျပီး ၊ ၾကီးစဥ္ငယ္လိုက္ ပဲျဖစ္ျဖစ္၊ ငယ္စဥ္ၾကီးလိုက္ပဲျဖစ္ျဖစ္) ေအာက္မွာျပထားသလို စီလိုက္ဗ်ာ။ ဒါဆိုရင္ ရွင္းျပီထင္ပါတယ္။ [ဒါဟာ ေပါင္းစည္းျခင္း- Integration လုပ္ေနတာေပါ့။ ]

အပ္ခ်ည္ၾကိဳးေလာက္ကိုေသးငယ္တဲ့၊ ေဒါင္လိုက္ေထာင္ထားတဲ့ မ်ဥ္းေတြရဲ့ x ၀င္ရုိးတေလ်ာက္ စုစုေပါင္း ေပါင္းလာဒ္ဟာ  ကၽြန္ေတာ္တို ့ရဲ့ ဧရိယာရွာခ်င္တဲ့၊ မူလစက္၀ုိင္းရဲ့ radius ပဲမဟုတ္လား။

ၾတိဂံ ရဲ့ အျမင့္(y-၀င္ရိုးတစ္ေလ်ာက္ အျမင့္ဆံုးတန္ဘိုးျဖစ္တဲ့၊ အၾကီးဆံုးကြင္းရဲ့အလ်ား) ဟာ “2 * pi * r ”  ပဲမဟုတ္လား။ ဒါဆိုရင္ ကၽြန္ေတာ္တို ့ဟာ ၾတိဂံတစ္ခုရဲ့ ဧရိယာဟာ   [half *  base *  height] ဆိုတာ သိထားျပီးသားျဖစ္ေလေတာ့၊

ၾတိဂံရဲ့ဧရိယာဟာ   pi, r, square ေပါ့။ ဒါဟာ တကယ္ေတာ့ ကၽြန္ေတာ္တို ့ရွာေနတဲ့၊ စက္၀ိုင္းရဲ့ ဧရိယာပဲ မဟုတ္ပါလားခင္ဗ်ာ။

ဒီေနရာမွာထပ္ေျပာခ်င္တာက၊ Calculus သင္ဖူးသူတိုင္း မွတ္မိေလ့ရိွတဲ့[ဒီတခုတည္းပဲ မွတ္မိၾကေတာ့တာပါ။]

Differential Calculus ရဲ့ ဇာတ္လိုက္ေက်ာ္ၾကီး  ျဖစ္တဲ့  “Power Rule” ရဲ့  “ပါ၀ါေရွ႕ခ်…..ပါ၀ါတစ္ထပ္ေလ်ာ့”  ဆိုတဲ့ နည္း အတိုင္း(Circle and Sphere Fun Facts မွာ ျပထားတဲ့ ပံုေသနည္းေတြကိုသံုးျပီး)

+စက္၀ိုင္းရဲ့ ဧရိယာကို Differentiate လုပ္ၾကည့္လိုက္ဗ်ာ။ စက္၀ိုင္းရဲ့ Circumference ရလာတယ္မဟုတ္လား။

+စက္လံုးရဲ့ထုထည္ ကို Differentiate လုပ္ၾကည့္လိုက္ဗ်ာ။ စက္လံုး ရဲ့မ်က္ႏွာျပင္ ဧရိယာ ရမလာဘူးလား။

……

……

နိဂံုးခ်ဳပ္ပါရေစ။

ဒီ Blog မွာ ရွိတဲ့၊ ဒီ Post ကို ဖတ္ၾကတဲ့မိတ္ေဆြတို ့ဟာ၊ အရိပ္ျပအေကာင္ထင္မယ့္ သူေတြပါ။ ဒီေလာက္ဆိုရင္ Calculus ရ့ဲ ေဒါက္တိုင္ၾကီး ႏွစ္တိုင္ျဖစ္တဲ့ Differentiation နဲ ့ Integration ရဲ့၊ ေနာက္ခံသေဘာတရား၊ အႏွစ္သာရ နဲ ့ သူတို ့ႏွစ္ခုရဲ့ အျပန္အလွန္ ဆက္စပ္ပုံကို ရိပ္စားမိေလာက္ျပီ လို ့ ေမွ်ာ္လင့္ပါတယ္ခင္ဗ်ား။ကၽြန္ေတာ့ရဲ့ သခၤ်ာပညာအဆင့္အတန္း နဲ ့ပတ္သက္လို ့ကၽြႏု္ပ္၏အေၾကာင္းမွာလည္း ၀န္ခံျပီးပါျပီ။ ဒါေၾကာင့္ ဒီ ေဆာင္းပါးရဲ့ ရည္ရြယ္ခ်က္က “အထီး အမ” ခြဲျပရံုမွ်သာျဖစ္ပါတယ္။ တကယ္ကၽြမ္းကၽြမ္းက်င္က်င္ စီးနင္းတတ္ဖို ့ကေတာ့၊ တကယ္ ကၽြမ္းက်င္သူပညာရွင္ေတြျဖစ္ၾကတဲ့ ဆရာၾကီး ေဒါက္တာခင္ေမာင္၀င္း၊ ဆရာလြဏ္းေမာင္ တို ့လို သခၤ်ာပညာရွင္ေတြ၊ ဆရာၾကီးေဒါက္တာတင္ေအာင္၊ ဆရာဘိုးလိႈင္ စတဲ့ ရူပေဗဒပညာရွင္ေတြ ရဲ့ အေသးစိပ္သင္ၾကားခ်က္၊ ပို ့ခ်ခ်က္၊ ေဆာင္းပါး၊ စာအုပ္စာတမ္း စတာေတြကို  မလြတ္တမ္း ရွာေဖြ စုေဆာင္း ေလ့လာ ဖတ္ရႈၾကပါလို ့ ေလးစားစြာတိုက္တြန္းလိုက္ပါတယ္ခင္ဗ်ာ။ 

စကားမစပ္ေျပာခ်င္တာကေတာ့၊ စက္လံုးရဲ့ထုထည္ ကိုစိတ္ကူးနဲ ့ Differentiate ၾကည့္တဲ့အခါ၊ မ်က္ေစ့ထဲျမင္ေရာင္ရမွာက၊ ေဂၚဖီထုပ္မွာရွိတဲ့၊ ေဂၚဖီရြက္ေတြကို၊ တလႊာခ်င္း တလႊာခ်င္း၊ တရြက္ခ်င္း တရြက္ခ်င္း၊ ေဂၚဖီထုပ္ဆိုတဲ့အလံုးၾကီး၊ ထုထည္ၾကီး ေပ်ာက္သြားတဲ့အထိ၊ ခြာၾကည့္ ေနသလိုမ်ိဳးေပါ့။

(ျခိမ့္ထက္)

References:

http://betterexplained.com/articles/a-gentle-introduction-to-learning-calculus/

Elementary Calculus (An Infinitesimal Approach) 2^nd Edition by H.Jerome

Keisler,  University of Wisconsin

http://en.wikipedia.org/wiki/Calculus