(တစ် မကြိုက်၍ တ သုံးခြင်းဖြစ်သည်)
မင်္ဂလာပါခင်ဗျာ…
ဘောပွဲတပွဲမှာ ဂိုးသမားက ဘောလုံးကို မြေမှာ တည်ပြီးကန်လိုက်တယ်။ အဲဒီလိုကန်လိုက်တဲ့အခါ၊ အဲဒီ ဘောလုံးရဲ့ စက္ကန့် နဲ့ အမျှပြောင်းလဲသွားတဲ့ အမြင့်ပေတန်ဘိုး ကို ပြတဲ့ function အဖြစ် ညီမျှခြင်း h = 100t – 25t2 ကို ပေးထားတယ် ဆိုပါစို့။ t က စက္ကန့် h က အမြင့်ပေ ပေါ့ဗျာ။ ကျွန်တော်တို့ သိချင်တာက
၁။ စ ကန်လိုက်တဲ့ အချိန်ကနေ ဘယ်အချိန်မှာ ဘောလုံးဟာ အမြင့်ဆုံးကို ရောက်မလဲ
၂။ ဘောလုံးဟာ အမြင့်ဆုံးကို ရောက်နေတဲ့အချိန်မှာ မြေပြင်ကနေ အမြင့်ပေ ဘယ်လောက် မှာ ရှိနေလဲ
၃။ ဘယ်အချိန်မှာ ဘောလုံးဟာ မြေပေါ်ကို ပြန်ကျမလဲ
ဆိုတာတွေပဲ။
ဒါတွေကိုရှာတဲ့အခါ ကျွန်တော်တို့ဟာ
1. Algebraic Method
2. Deductive Method
3. Graphic Method
4. Trial-and-Error Method နဲ့
5. Calculus Method ဆိုပြီး နည်းလမ်း ၅-မိုျးနဲ့ ချဉ်းကပ် စဉ်းစားအဖြေရှာ ကြည့်ကြမှာဖြစ်ပါတယ်။
ကျွန်တော့အနေနဲ့ ဒီဆောင်းပါးမှာ တကယ်တန်းဆွေးနွေးချင်တာက Calculus မှာ ရှိတဲ့ Maximum နဲ့ Minimum အကြောင်းဗျ။
“အော်… ဒါဆိုရင်လည်းဗျာ.. ဘာလို့ ပေရှည်ပြီး ‘မဆိုင်တဲ့အပေါက် ဂလိုင်နဲ့ခေါက်’ နေတာတုန်း။ လိုရင်း တိုရှင်း Short to the point ၊ သွားမယ့်နေရာ တိုက်ရိုက်သွားလိုက်ပါတော့လား…”
လို့ အပြစ်တင်ရင်လည်း ခံရမှာပါပဲ။ ကျွန်တော့ရဲ့ ရည်ရွယ်ချက်က ပြဿနာတရပ်ကို ချဉ်းကပ်တဲ့အခါ ကိုယ်နဲ့ ရင်းနှီးပြီးသား ပြဿနာဖြေရှင်းပုံနည်းလမ်းကိုသာ စ စဉ်းစားပြီး၊ ပြီးမှ ကိုယ်သိပ်မရင်းနှီးသေးတဲ့ နည်းလမ်းကို တဖြည်းဖြည်း ကူးပြောင်းကြံဆ တဲ့နည်းနဲ့ သင်္ချာပညာရဲ့ အကိုင်းအခက်တွေဟာ တခု နဲ့တခု ဘယ်လို အပြန်အလှန် ဖြာယှက်နေ သလဲဆိုတာကို တတ်နိုင်သလောက် ကြိုးစားပြီး တင်ပြချင်လို့ ဖြစ်ပါတယ်။ ရည်ရွယ်ချက် အောင်မြင်တယ် မအောင်မြင်ဘူးဆိုတာကတော့ မိတ်ဆွေတို့ပဲ ဆုံးဖြတ်ရမှာပေါ့။
1. Algebraic Method( အက္ခရာသင်္ချာနည်း)
ဒီပြဿနာကို အက္ခရာသင်္ချာနည်း နဲ့ဖြေရှင်းဖို့ စ စဉ်းစားတဲ့အခါ ပေးထားတဲ့ Equation ကို ကြည့်လိုက်ဗျာ။ ပုံဟာ downward-facing parabola ဖြစ်ရမှာ မဟုတ်ဘူးလား။
“ဘာ…ဘာ..ဘာ…ဘာတွေလာပြောနေတာလဲ….။ ခင်များဗျာ….ဘာမှတောင် ရှင်းမပြသေးပဲနဲ့။ ကုျပ်တို့ က Equation ကို ကြည့်ပြီး ဘာပုံဆိုတာ ပြောနိုင်တဲ့ လူမိုျးမဟုတ်ဘူးဗျ။ အဲဒီလောက် သိနေရင် ဒီလို စာမိုျးတောင် အချိန်ကုန်ခံ ပြီး ဖတ်မနေဘူး”
….ဆိုပြီးများ အပြောခံရမလားတော့မသိပါဘူးဗျာ။ မိတ်ဆွေတို့ ကျွန်တော်တို့ ၉-တန်း ၁၀-တန်း လောက်မှာလား၊ အဆင့်မြင့်ပညာ (တက္ကသိုလ် ကောလိပ် GTI ) ပထမနှစ် လောက်မှာလား ကျွန်တော်လည်းသေချာတော့မမှတ်မိဘူး။ အဲဒီတုန်းက သင်ခဲ့ရတဲ့ သင်္ချာ ဗျာ။ Coordinate Geometry တို့ Calculus တို့ဘာတို့။ အဲ Calculus ကတော့ ပထမနှစ် မှာ စသင်ရပြီ ဗျ ကျွန်တော် ကောင်းကောင်း မှတ်မိတယ်။ ဘာလို့မှတ်မိတာတုန်းဆိုတော့ သင်္ချာကို စိတ်ဝင်စားလှတဲ့ ကျွန်တော် ဟာ GTI ပထမနှစ်မှာသင်ခဲ့ရတဲ့ အဲဒီ Calculus ကို ဘယ်လိုမှ ကိုျးကြောင်းဆင်ခြင်ဉာဏ်နဲ့ ဆက်စပ်ပြီး ချေချေမြစ်မြစ် ဂဃနဏ နားမလည်နိုင်ပဲ အများနည်းတူ “လှေနံ ဒါးထစ်၊ စလေငခွေး၊ အမေမှာတဲ့ ဆန်တခွဲ သုံးစိတ်နဲ့မလဲ၊ အသေမှတ်၊ အလွတ်ကျက်” ဘဝမိုျးနဲ့ ကြုံခဲ့ရတာကြောင့် သင်္ချာကို လှည့်မကြည့်ချင်တော့လောက်အောင် ဖြစ်သွားပြီး၊ ပညာလိုလားတဲ့ စိတ်နှလုံး လဲ ဂုျန်းဂုျန်းကျ ကိုယ့်ကိုကိုယ်ယုံကြည်တဲ့ စိတ်ဓါတ်တွေလည်း အကြီးအကျယ် ပြိုလဲပျက်စီးပြီး အဲဒီအချိန်ကတည်းကစလို့ သင်္ချာနဲ့ ဝေးခဲ့တာကိုး။ ထားပါဗျာ…ဒီအကြောင်းတွေ နောက်ကြုံတော့ ပြောပြပါဦးမယ်။
+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=
ကဲ အခုတော့ Coordinate Geometry တို့ Calculus တို့ စသင်ကာစကအကြောင်းပြန်ဆက်ရရင် အဲဒီတုန်းက ကျွန်တော်တို့ဟာ ပေးထားတဲ့ Equation ကိုသုံး၊ x-တန်ဘိုး တခုသတ်မှတ်၊ အဲဒီ x-တန်ဘိုး ကို ပုံသေနည်းထဲထည့်၊ y-တန်ဘိုးရှာ၊ အဲဒီအတိုင်း ထပ်ကာထပ်ကာလုပ်ပြီး ရလာတဲ့ x y တန်ဘိုးတွေကို သုံးပြီး Graph ပုံတွေ တော်တော်များများ ဆွဲခဲ့ ကြဘူးတယ်လေ။ အဲဒီတုန်းက အတွေ့အကြုံတွေနဲ့ကို ကိုယ်တိုင်လက်တွေ့သတိထားမိခဲ့ ကြတယ်မဟုတ်လားဗျ။
နဲနဲပါးပါး ပြန်အစဖော်ပေးရင် “အက္ခရာ လက္ခဏာ ကိန်းသေ ကွင်းနှစ်ထပ်” ဆိုတဲ့ Square Form [y = (x - h)2 + k] မှာဗျာ လက်သည်းကွင်းရှေ့မှာ အပေါင်း လက္ခဏာ ဆိုရင် upward parabola ၊ အနှုတ်ဆိုရင် downward parabola ဆိုတာလေ။
(အင်း ကျွန်တော် လူပြိန်းမှတ် မှတ်ခဲ့တဲ့ အတိုင်းဆိုရင်တော့ နှစ်ထပ် တထပ် ကိန်းသေ ပုံစံမှာ အက္ခရာနှစ်ထပ်ကိန်း ရှေ့မှာ အနှုတ်လက္ခဏာဆိုရင် ဂငယ်-ပါရာဘိုလာ၊ အက္ခရာနှစ်ထပ်ကိန်း ရှေ့မှာ အပေါင်းလက္ခဏာဆိုရင် ပစောက်-ပါရာဘိုလာ..ပေါ့ဗျာ။)
+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=
[“အက္ခရာ လက္ခဏာ ကိန်းသေ ကွင်းနှစ်ထပ်”
Square Form [y = (x - h)2 + k] ရှင်းလင်းချက်အကျဉ်း]
ဥပမာ
y = 3x2 + 12x + 1
ဆိုတဲ့ Equation ကို Square Form ဖြစ်တဲ့ (x - h)2 ပုံစံ ပြောင်းကြည့်မယ်ဗျာ။
y = 3x2 + 12x + 1
y = 3(x2 + 4x) + 1
y = 3(x2 + 4x + 4) + 1
y = 3(x2 + 4x + 4) + 1 – 12
y = 3(x + 2)2 - 11
တတိယအကြောင်းက Equation နဲ့ စတုတ္ထအကြောင်းက Equation ကို တော့ သေချာလေးကြည့်ပေါ့ဗျာ။ အဲဒီမှာ အလယ်က 4x ရအောင်လို့ 2 * 2 = 4 ကို (နှစ်ထပ်ကိန်း ခွဲလို့ရအောင်) ထည့်ထားတာ။ ကွင်းနှစ်ထပ်ပုံစံ ရအောင် တမင်ဖန်တီးရတာပေါ့ဗျာ။ အဲဒီတော့ ပိုလာတဲ့ +12 ကို ကြေသွားအောင် နောက်ဆုံးမှာ -12 ထပ်ထည့်တယ်။ သူတို့နှစ်ခုပေါင်း zero ဆိုတော့ မူလ Equation ရဲ့တန်ဘိုး မပြောင်းဘူးပေါ့။ ဒါဟာ အခြေခံ အက္ခရာသင်္ချာ မှာ ရှိတဲ့ (a + b)2 တို့ (a - b) 2 ဆိုတာလေးတွေကို ပြန်သတိရရင် ရှင်းသွားမှာပါ။ ကဲ.. အဲဒါကို သဘောပေါက်သွားရင် နောက်ဆုံးအကြောင်းက Equation ရဲ့ လက်သည်းကွင်းလေးကိုပဲ ကြည့်ဗျာ…
အဲဒီမှာ
“x” က အက္ခရာ ( x )
“+” က လက္ခဏာ
“2” က ကိန်းသေ( h )
သူတို့ကို Square လုပ်ထားတော့ ကွင်းနှစ်ထပ်ပေါ့ဗျာ။ အဲဒီမှာ လက်သည်းကွင်းရှေ့မှာ ရှိတာက “3”, သူ က အပေါင်းကိန်းဆိုတော့ ပေးထားတဲ့ Equation ကို သုံးပြီး ဂရပ်ဆွဲရင် ပစောက်ပုံ ပါရာဗိုလာပုံရမှာပေါ့။
+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=
ကျွန်တော်တို့အခုဖြေရှင်းမယ့် Equation က h = 100t – 25t2 ။ t square ရဲ့ရှေ့မှာက အနှုတ်၊ ဒါကြောင့် ဒီ Equation ကို ဂရပ်ဆွဲရင် ဂငယ်ပုံ ပါရာဗိုလာပုံရမှာပေါ့။ တကယ်တော့လည်းဗျာ ဘောလုံးတစ်လုံးကို မြေမှာ တည်ပြီး ဘယ်လိုပဲကန်ကန် ဂငယ်ပုံမျဉ်းကွေး အတိုင်းပဲသွားမယ်ဆိုတာ ကလေးကအစသိပါတယ်။ ဒါပေမယ့် ကြုံတုန်းလေး ဆက်စပ်နေတဲ့ သင်္ချာ Information လေးတွေ ပြန်နွှေးပေးတာပါ။
+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=
ကဲကဲ အစကိုပြန်ကောက်ကြဦးစို့ဗျာ။ ဒီပုဒ်စာကို အက္ခရာသင်္ချာနည်း နဲ့ဖြေရှင်းဖို့ စ စဉ်းစားတဲ့အခါ ပေးထားတဲ့ Equation ကို ကြည့်လိုက်တော့ ပုံဟာ downward-facing parabola ဖြစ်နေတဲ့အတွက် ကျွန်တော်တို့ဟာ ဘာကို အတတ်ပြောနိုင်လဲဆိုတော့ “အမြင့်ဆုံး အမှတ် ဟာ ဒီဂရပ်ရဲ့ ခေါက်ခိုျးညီ ဝင်ရိုးမှာ ရှိတယ်” ဆိုတဲ့ အချက်ပဲ။
ဒါကြောင့် အက္ခရာ သင်္ချာမှာ ရှိတဲ့ ပုံသေနည်း (The axis of symmetry is the line: x = -b/2a )ကို သုံးမယ်ဗျာ။ အဲဒီပုံသေနည်း ဘယ်လို ရလာတယ်ဆိုတာကိုလည်း နောက်ပိုင်း Calculus နဲ့ရှင်းတဲ့အခါ ဆက်စပ်တင်ပြပါဦးမယ်။
“ဟိုး..ဟိုး..ဟိုး …. နေပါဦး…။ “x” ကတော့ ထားပါတော့ “x” ပေါ့။ အချိန် t ကို ကိုယ်စားပြုတဲ့ x-ဝင်ရိုးမှာ ခေါက်ခိုျးညီမှတ် ရှိနေတဲ့ နေရာ။ ဂရပ်ရဲ့ အမြင့်ဆုံး အမှတ် Point ကို ပြတဲ့ (x, y) အတွဲက “x” ရဲ့တန်ဘိုး။ ဒါနဲ့ ပုံသေနည်း ထဲမှာ ပါတဲ့ b တွေ a တွေက ဘာတွေတုန်းဗျ..”
အိုကေ…ဒါဆိုရင် ကျွန်တော် အထက်မှာ တင်ပြခဲ့တဲ့ “နှစ်ထပ် တထပ် ကိန်းသေ” ပုံစံ Parabola Equation တွေရဲ့ ယေဘုယျပုံစံ ကို ပြန်ကောက်ကြပါစို့။
The standard form of a parabola's equation is generally expressed as
y = ax
2+ bx + c
The role of 'a'
If a> 0, the parabola opens upwards. (အပေါင်း-ပစောက်)
if a< 0, it opens downwards. (အနှုတ်-ဂငယ်)
ဒါကြောင့် နှစ်ထပ်ဖြစ်နေတဲ့ အက္ခရာ ရဲ့ မြှောက်ဖော်ကိန်းက “a”
တထပ် အက္ခရာ ရဲ့ မြှောက်ဖော်ကိန်းက “b”
နောက်ဆုံးက ကိန်းသေ(constant) ကတော့ “c” ပေါ့ဗျာ။
ဒါဆိုရင် ကျွန်တော်တို့ရဲ့ function (တနည်း) Equation က h = 100t – 25t2 ဖြစ်တဲ့အတွက်
a = 25;
b = 100;
c = 0; (မရှိတော့ သုည) ….ဒါကြောင့်
The axis of symmetry is the line: x = -b/2a ထဲမှာသက်ဆိုင်ရာတန်ဘိုးတွေ အစားသွင်းလိုက်တော့... x = 2; ရတယ်။ အဲဒီ x က အချိန် t ရဲ့တန်ဘိုးပေါ့။ ဘာအချိန်လည်း…..။ ဘောလုံးကို စ ကန်လိုက်တဲ့ အချိန်ကနေ၊ ဘောလုံးဟာ အမြင့်ဆုံးကိုရောက်ဖို့ရောက်ဖို့ကြာတဲ့အချိန်။ နံပါတ် ၁-ရဲ့ အဖြေပေါ့။
+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=
ကဲ ၂-ကို ဆက်ကြစို့။ ဘောလုံးဟာ အချိန် 2-Seconds မှာ အမြင့်ဆုံးကို ရောက်တာဆိုတော့ ပေးထားတဲ့ Equation ထဲမှာ t တန်ဘိုး 2 ကို အစားသွင်းလိုက်ရင်…
h = 100t – 25t2
= 100(2) – 25(2)2
= 200 - 100
= 100
အချိန် 2-sec မှာ ဘောလုံးအမြင့်ဆုံးကို ရောက်ခဲ့တဲ့ အမြင့်ဟာ ပေ ၁၀၀။ နံပါတ် ၂-ရဲ့ အဖြေပေါ့။
+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=
ကဲ နံပါတ် ၃-ကို ဆက်ကြဦးစို့ ရဲ့။ ဘောလုံးက မြေကြီးကို ပြန်ထိတဲ့ အချိန်ဆိုတော့ အမြင့် h ရဲ့တန်ဘိုး သုည ဖြစ်တဲ့အချိန်ပေါ့။ မဟုတ်ဘူးလားဗျာ။ ဒါဆိုရင်
h = 100t – 25t2
0 = 100t – 25t2
0 = 25t (4 – t)
25t = 0 နဲ့ 4 – t = 0
ဒါကြောင့်…ဘောလုံးကို စ’ မကန်ခင် မြေကြီးပေါ် တည်ထားတဲ့ အချိန် ( t = 0) နဲ့
ဘောလုံးကိုကန်လိုက်ပြီး ( t = 4) စက္ကန့် ကြာတဲ့အချိန်တွေမှာ ဘောလုံးဟာ မြေကြီး နဲ့ ထိတယ် ပေါ့ဗျာ။ ဒါက Algebraic Method..။ ကဲနောက်တဆင့် Deductive Method နဲ့ ချဉ်းကပ်ကြည့်ကြဦးစို့။
(ခြိမ့်ထက်)
[ဆက်လက်တင်ပြပါမည်.......]
ဝန်ခံချက်။ ဤဆောင်းပါးပါအချက်အလက်များမှာ ကျွန်တော်၏ ကိုယ်ပိုင်တွေးခေါ်ကြံဆချက်များမဟုတ်ပါ။
AMSCO School Publications မှ ၂၀၀၈ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေသော Fundamentals of Calculus , Chapter 5, Maximum and Minimum Values of a Function နှင့်
http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/class/sarfaty/emt669/instructionalunit/parabolas/parabolas.html တို့ကို ကိုးကား၍ တင်ပြခြင်းသာဖြစ်ပါသည်။
