သခၤ်ာတပုဒ္ ခ်ည္းကပ္ပံုအေထြေထြ

မဂၤလာပါခင္ဗ်ာ…

ေဘာပဲြတပဲြမွာ ဂိုးသမားက ေဘာလံုးကို ေျမမွာ တည္ျပီးကန္လိုက္တယ္။ အဲဒီလိုကန္လိုက္တဲ့အခါ၊ အဲဒီ ေဘာလံုးရဲ့ စကၠန္ ့ နဲ ့ အမွ်ေျပာင္းလဲသြားတဲ့ အျမင့္ေပတန္ဘိုး ကို ျပတဲ့ function အျဖစ္ ညီမွ်ျခင္း h = 100t – 25t2 ကို ေပးထားတယ္ ဆိုပါစို ့။ t က စကၠန္ ့ h က အျမင့္ေပ ေပါ့ဗ်ာ။ ကြ်န္ေတာ္တို ့ သိခ်င္တာက

၁။ စ ကန္လိုက္တဲ့ အခိ်န္ကေန ဘယ္အခိ်န္မွာ ေဘာလံုးဟာ အျမင့္ဆံုးကို ေရာက္မလဲ

၂။ ေဘာလံုးဟာ အျမင့္ဆံုးကို ေရာက္ေနတဲ့အခိ်န္မွာ ေျမျပင္ကေန အျမင့္ေပ ဘယ္ေလာက္ မွာ ရိွေနလဲ

၃။ ဘယ္အခိ်န္မွာ ေဘာလံုးဟာ ေျမေပၚကို ျပန္က်မလဲ

ဆိုတာေတြပဲ။

ဒါေတြကိုရွာတဲ့အခါ ကြ်န္ေတာ္တို ့ဟာ

1. Algebraic Method

2. Deductive Method

3. Graphic Method

4. Trial-and-Error Method နဲ ့

5. Calculus Method ဆိုျပီး နည္းလမ္း ၅-မို်းနဲ ့ ခ်ဉ္းကပ္ စဉ္းစားအေျဖရွာ ၾကည့္ၾကမွာျဖစ္ပါတယ္။

ကြ်န္ေတာ့အေနနဲ ့ ဒီေဆာင္းပါးမွာ တကယ္တန္းေဆြးေနြးခ်င္တာက Calculus မွာ ရိွတဲ့ Maximum နဲ ့ Minimum အေၾကာင္းဗ်။

    “ေအာ္… ဒါဆိုရင္လည္းဗ်ာ.. ဘာလို ့ ေပရွည္ျပီး ‘မဆိုင္တဲ့အေပါက္ ဂလိုင္နဲ ့ေခါက္’ ေနတာတုန္း။ လိုရင္း တိုရွင္း Short to the point ၊ သြားမယ့္ေနရာ တိုက္ရိုက္သြားလိုက္ပါေတာ့လား…”

လို ့ အျပစ္တင္ရင္လည္း ခံရမွာပါပဲ။ ကြ်န္ေတာ့ရဲ့ ရည္ရြယ္ခ်က္က ျပႆနာတရပ္ကို ခ်ဉ္းကပ္တဲ့အခါ ကိုယ္နဲ ့ ရင္းနီွးျပီးသား ျပႆနာေျဖရွင္းပံုနည္းလမ္းကိုသာ စ စဉ္းစားျပီး၊ ျပီးမွ ကိုယ္သိပ္မရင္းနီွးေသးတဲ့ နည္းလမ္းကို တျဖည္းျဖည္း ကူးေျပာင္းၾကံဆ တဲ့နည္းနဲ ့ သခၤ်ာပညာရဲ့ အကိုင္းအခက္ေတြဟာ တခု နဲ ့တခု ဘယ္လို အျပန္အလွန္ ျဖာယွက္ေန သလဲဆိုတာကို တတ္နိုင္သေလာက္ ၾကိုးစားျပီး တင္ျပခ်င္လို ့ ျဖစ္ပါတယ္။ ရည္ရြယ္ခ်က္ ေအာင္ျမင္တယ္ မေအာင္ျမင္ဘူးဆိုတာကေတာ့ မိတ္ေဆြတို ့ပဲ ဆံုးျဖတ္ရမွာေပါ့။

1. Algebraic Method( အကၡရာသခၤ်ာနည္း)

ဒီျပႆနာကို အကၡရာသခၤ်ာနည္း နဲ ့ေျဖရွင္းဖို ့ စ စဉ္းစားတဲ့အခါ ေပးထားတဲ့ Equation ကို ၾကည့္လိုက္ဗ်ာ။ ပံုဟာ downward-facing parabola ျဖစ္ရမွာ မဟုတ္ဘူးလား။

    “ဘာ…ဘာ..ဘာ…ဘာေတြလာေျပာေနတာလဲ….။ ခင္မ်ားဗ်ာ….ဘာမွေတာင္ ရွင္းမျပေသးပဲနဲ ့။ ကု်ပ္တို ့ က Equation ကို ၾကည့္ျပီး ဘာပံုဆိုတာ ေျပာနိုင္တဲ့ လူမို်းမဟုတ္ဘူးဗ်။ အဲဒီေလာက္ သိေနရင္ ဒီလို စာမို်းေတာင္ အခိ်န္ကုန္ခံ ျပီး ဖတ္မေနဘူး”

….ဆိုျပီးမ်ား အေျပာခံရမလားေတာ့မသိပါဘူးဗ်ာ။ မိတ္ေဆြတို ့ ကြ်န္ေတာ္တို ့ ၉-တန္း ၁၀-တန္း ေလာက္မွာလား၊ အဆင့္ျမင့္ပညာ (တကၠသိုလ္ ေကာလိပ္ GTI ) ပထမနွစ္ ေလာက္မွာလား ကြ်န္ေတာ္လည္းေသခ်ာေတာ့မမွတ္မိဘူး။ အဲဒီတုန္းက သင္ခဲ့ရတဲ့ သခၤ်ာ ဗ်ာ။ Coordinate Geometry တို ့ Calculus တို ့ဘာတို ့။ အဲ Calculus ကေတာ့ ပထမနွစ္ မွာ စသင္ရျပီ ဗ် ကြ်န္ေတာ္ ေကာင္းေကာင္း မွတ္မိတယ္။ ဘာလို ့မွတ္မိတာတုန္းဆိုေတာ့ သခၤ်ာကို စိတ္ဝင္စားလွတဲ့ ကြ်န္ေတာ္ ဟာ GTI ပထမနွစ္မွာသင္ခဲ့ရတဲ့ အဲဒီ Calculus ကို ဘယ္လိုမွ ကို်းေၾကာင္းဆင္ျခင္ဉာဏ္နဲ ့ ဆက္စပ္ျပီး ေခ်ေခ်ျမစ္ျမစ္ ဂဃနဏ နားမလည္နိုင္ပဲ အမ်ားနည္းတူ “ေလွနံ ဒါးထစ္၊ စေလငေခြး၊ အေမမွာတဲ့ ဆန္တခဲြ သံုးစိတ္နဲ ့မလဲ၊ အေသမွတ္၊ အလြတ္က်က္” ဘဝမို်းနဲ ့ ၾကံုခဲ့ရတာေၾကာင့္ သခၤ်ာကို လွည့္မၾကည့္ခ်င္ေတာ့ေလာက္ေအာင္ ျဖစ္သြားျပီး၊ ပညာလိုလားတဲ့ စိတ္နွလံုး လဲ ဂု်န္းဂု်န္းက် ကိုယ့္ကိုကိုယ္ယံုၾကည္တဲ့ စိတ္ဓါတ္ေတြလည္း အၾကီးအက်ယ္ ျပိုလဲပ်က္စီးျပီး အဲဒီအခိ်န္ကတည္းကစလို ့ သခၤ်ာနဲ ့ ေဝးခဲ့တာကိုး။ ထားပါဗ်ာ…ဒီအေၾကာင္းေတြ ေနာက္ၾကံုေတာ့ ေျပာျပပါဦးမယ္။

+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=

ကဲ အခုေတာ့ Coordinate Geometry တို ့ Calculus တို ့ စသင္ကာစကအေၾကာင္းျပန္ဆက္ရရင္ အဲဒီတုန္းက ကြ်န္ေတာ္တို ့ဟာ ေပးထားတဲ့ Equation ကိုသံုး၊ x-တန္ဘိုး တခုသတ္မွတ္၊ အဲဒီ x-တန္ဘိုး ကို ပံုေသနည္းထဲထည့္၊ y-တန္ဘိုးရွာ၊ အဲဒီအတိုင္း ထပ္ကာထပ္ကာလုပ္ျပီး ရလာတဲ့ x y တန္ဘိုးေတြကို သံုးျပီး Graph ပံုေတြ ေတာ္ေတာ္မ်ားမ်ား ဆဲြခဲ့ ၾကဘူးတယ္ေလ။ အဲဒီတုန္းက အေတြ ့အၾကံုေတြနဲ ့ကို ကိုယ္တိုင္လက္ေတြ ့သတိထားမိခဲ့ ၾကတယ္မဟုတ္လားဗ်။

နဲနဲပါးပါး ျပန္အစေဖာ္ေပးရင္ “အကၡရာ လကၡဏာ ကိန္းေသ ကြင္းနွစ္ထပ္” ဆိုတဲ့ Square Form [y = (x - h)2 + k] မွာဗ်ာ လက္သည္းကြင္းေရွ ့မွာ အေပါင္း လကၡဏာ ဆိုရင္ upward parabola ၊ အနႈတ္ဆိုရင္ downward parabola ဆိုတာေလ။

(အင္း ကြ်န္ေတာ္ လူျပိန္းမွတ္ မွတ္ခဲ့တဲ့ အတိုင္းဆိုရင္ေတာ့ နွစ္ထပ္ တထပ္ ကိန္းေသ ပံုစံမွာ အကၡရာနွစ္ထပ္ကိန္း ေရွ ့မွာ အနႈတ္လကၡဏာဆိုရင္ ဂငယ္-ပါရာဘိုလာ၊ အကၡရာနွစ္ထပ္ကိန္း ေရွ ့မွာ အေပါင္းလကၡဏာဆိုရင္ ပေစာက္-ပါရာဘိုလာ..ေပါ့ဗ်ာ။)

+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=

[“အကၡရာ လကၡဏာ ကိန္းေသ ကြင္းနွစ္ထပ္”

Square Form [y = (x - h)2 + k] ရွင္းလင္းခ်က္အက်ဉ္း]

ဥပမာ

y = 3x2 + 12x + 1

ဆိုတဲ့ Equation ကို Square Form ျဖစ္တဲ့ (x - h)2 ပံုစံ ေျပာင္းၾကည့္မယ္ဗ်ာ။

y = 3x2 + 12x + 1

y = 3(x2 + 4x) + 1

y = 3(x2 + 4x + 4) + 1

y = 3(x2 + 4x + 4) + 1 – 12

y = 3(x + 2)2 - 11

တတိယအေၾကာင္းက Equation နဲ ့ စတုတၳအေၾကာင္းက Equation ကို ေတာ့ ေသခ်ာေလးၾကည့္ေပါ့ဗ်ာ။ အဲဒီမွာ အလယ္က 4x ရေအာင္လို ့ 2 * 2 = 4 ကို (နွစ္ထပ္ကိန္း ခဲြလို ့ရေအာင္) ထည့္ထားတာ။ ကြင္းနွစ္ထပ္ပံုစံ ရေအာင္ တမင္ဖန္တီးရတာေပါ့ဗ်ာ။ အဲဒီေတာ့ ပိုလာတဲ့ +12 ကို ေၾကသြားေအာင္ ေနာက္ဆံုးမွာ -12 ထပ္ထည့္တယ္။ သူတို ့နွစ္ခုေပါင္း zero ဆိုေတာ့ မူလ Equation ရဲ့တန္ဘိုး မေျပာင္းဘူးေပါ့။ ဒါဟာ အေျခခံ အကၡရာသခၤ်ာ မွာ ရိွတဲ့ (a + b)2 တို ့ (a - b) 2 ဆိုတာေလးေတြကို ျပန္သတိရရင္ ရွင္းသြားမွာပါ။ ကဲ.. အဲဒါကို သေဘာေပါက္သြားရင္ ေနာက္ဆံုးအေၾကာင္းက Equation ရဲ့ လက္သည္းကြင္းေလးကိုပဲ ၾကည့္ဗ်ာ…

အဲဒီမွာ

“x” က အကၡရာ ( x )

“+” က လကၡဏာ

“2” က ကိန္းေသ( h )

သူတို ့ကို Square လုပ္ထားေတာ့ ကြင္းနွစ္ထပ္ေပါ့ဗ်ာ။ အဲဒီမွာ လက္သည္းကြင္းေရွ ့မွာ ရိွတာက “3”, သူ က အေပါင္းကိန္းဆိုေတာ့ ေပးထားတဲ့ Equation ကို သံုးျပီး ဂရပ္ဆဲြရင္ ပေစာက္ပံု ပါရာဗိုလာပံုရမွာေပါ့။

+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=

ကြ်န္ေတာ္တို ့အခုေျဖရွင္းမယ့္ Equation က h = 100t – 25t2 ။ t square ရဲ့ေရွ ့မွာက အနႈတ္၊ ဒါေၾကာင့္ ဒီ Equation ကို ဂရပ္ဆဲြရင္ ဂငယ္ပံု ပါရာဗိုလာပံုရမွာေပါ့။ တကယ္ေတာ့လည္းဗ်ာ ေဘာလံုးတစ္လံုးကို ေျမမွာ တည္ျပီး ဘယ္လိုပဲကန္ကန္ ဂငယ္ပံုမ်ဉ္းေကြး အတိုင္းပဲသြားမယ္ဆိုတာ ကေလးကအစသိပါတယ္။ ဒါေပမယ့္ ၾကံုတုန္းေလး ဆက္စပ္ေနတဲ့ သခၤ်ာ Information ေလးေတြ ျပန္ေနွြးေပးတာပါ။

+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=

ကဲကဲ အစကိုျပန္ေကာက္ၾကဦးစို ့ဗ်ာ။ ဒီပုဒ္စာကို အကၡရာသခၤ်ာနည္း နဲ ့ေျဖရွင္းဖို ့ စ စဉ္းစားတဲ့အခါ ေပးထားတဲ့ Equation ကို ၾကည့္လိုက္ေတာ့ ပံုဟာ downward-facing parabola ျဖစ္ေနတဲ့အတြက္ ကြ်န္ေတာ္တို ့ဟာ ဘာကို အတတ္ေျပာနိုင္လဲဆိုေတာ့ “အျမင့္ဆံုး အမွတ္ ဟာ ဒီဂရပ္ရဲ့ ေခါက္ခို်းညီ ၀င္ရိုးမွာ ရိွတယ္” ဆိုတဲ့ အခ်က္ပဲ။

ဒါေၾကာင့္ အကၡရာ သခၤ်ာမွာ ရိွတဲ့ ပံုေသနည္း (The axis of symmetry is the line: x = -b/2a )ကို သံုးမယ္ဗ်ာ။ အဲဒီပံုေသနည္း ဘယ္လို ရလာတယ္ဆိုတာကိုလည္း ေနာက္ပိုင္း Calculus နဲ ့ရွင္းတဲ့အခါ ဆက္စပ္တင္ျပပါဦးမယ္။

    “ဟိုး..ဟိုး..ဟိုး …. ေနပါဦး…။ “x” ကေတာ့ ထားပါေတာ့ “x” ေပါ့။ အခိ်န္ t ကို ကိုယ္စားျပုတဲ့ x-၀င္ရိုးမွာ ေခါက္ခို်းညီမွတ္ ရိွေနတဲ့ ေနရာ။ ဂရပ္ရဲ့ အျမင့္ဆံုး အမွတ္ Point ကို ျပတဲ့ (x, y) အတဲြက “x” ရဲ့တန္ဘိုး။ ဒါနဲ ့ ပံုေသနည္း ထဲမွာ ပါတဲ့ b ေတြ a ေတြက ဘာေတြတုန္းဗ်..”

အိုေက…ဒါဆိုရင္ ကြ်န္ေတာ္ အထက္မွာ တင္ျပခဲ့တဲ့ “နွစ္ထပ္ တထပ္ ကိန္းေသ” ပံုစံ Parabola Equation ေတြရဲ့ ေယဘုယ်ပံုစံ ကို ျပန္ေကာက္ၾကပါစို့။




The standard form of a parabola's equation is generally expressed as

y = ax²+ bx + c




The role of 'a'

If a> 0, the parabola opens upwards. (အေပါင္း-ပေစာက္)

if a< 0, it opens downwards. (အနႈတ္-ဂငယ္)

ဒါေၾကာင့္ နွစ္ထပ္ျဖစ္ေနတဲ့ အကၡရာ ရဲ့ ေျမွာက္ေဖာ္ကိန္းက “a”

တထပ္ အကၡရာ ရဲ့ ေျမွာက္ေဖာ္ကိန္းက “b”

ေနာက္ဆံုးက ကိန္းေသ(constant) ကေတာ့ “c” ေပါ့ဗ်ာ။

ဒါဆိုရင္ ကြ်န္ေတာ္တို ့ရဲ့ function (တနည္း) Equation က h = 100t – 25t2 ျဖစ္တဲ့အတြက္

a = 25;

b = 100;

c = 0; (မရိွေတာ့ သုည) ….ဒါေၾကာင့္

The axis of symmetry is the line: x = -b/2a ထဲမွာသက္ဆိုင္ရာတန္ဘိုးေတြ အစားသြင္းလိုက္ေတာ့... x = 2; ရတယ္။ အဲဒီ x က အခိ်န္ t ရဲ့တန္ဘိုးေပါ့။ ဘာအခိ်န္လည္း…..။ ေဘာလံုးကို စ ကန္လိုက္တဲ့ အခိ်န္ကေန၊ ေဘာလံုးဟာ အျမင့္ဆံုးကိုေရာက္ဖို ့ေရာက္ဖို ့ၾကာတဲ့အခိ်န္။ နံပါတ္ ၁-ရဲ့ အေျဖေပါ့။

+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=

ကဲ ၂-ကို ဆက္ၾကစို ့။ ေဘာလံုးဟာ အခိ်န္ 2-Seconds မွာ အျမင့္ဆံုးကို ေရာက္တာဆိုေတာ့ ေပးထားတဲ့ Equation ထဲမွာ t တန္ဘိုး 2 ကို အစားသြင္းလိုက္ရင္…

h = 100t – 25t2

= 100(2) – 25(2)2

= 200 - 100

= 100

အခိ်န္ 2-sec မွာ ေဘာလံုးအျမင့္ဆံုးကို ေရာက္ခဲ့တဲ့ အျမင့္ဟာ ေပ ၁၀၀။ နံပါတ္ ၂-ရဲ့ အေျဖေပါ့။

+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=+-*/=

ကဲ နံပါတ္ ၃-ကို ဆက္ၾကဦးစို ့ ရဲ့။ ေဘာလံုးက ေျမၾကီးကို ျပန္ထိတဲ့ အခိ်န္ဆိုေတာ့ အျမင့္ h ရဲ့တန္ဘိုး သုည ျဖစ္တဲ့အခိ်န္ေပါ့။ မဟုတ္ဘူးလားဗ်ာ။ ဒါဆိုရင္

h = 100t – 25t2

0 = 100t – 25t2

0 = 25t (4 – t)

25t = 0 နဲ့ 4 – t = 0

ဒါေၾကာင့္…ေဘာလံုးကို စ’ မကန္ခင္ ေျမၾကီးေပၚ တည္ထားတဲ့ အခိ်န္ ( t = 0) နဲ ့

ေဘာလံုးကိုကန္လိုက္ျပီး ( t = 4) စကၠန္ ့ ၾကာတဲ့အခိ်န္ေတြမွာ ေဘာလံုးဟာ ေျမၾကီး နဲ ့ ထိတယ္ ေပါ့ဗ်ာ။ ဒါက Algebraic Method..။ ကဲေနာက္တဆင့္ Deductive Method နဲ ့ ခ်ဉ္းကပ္ၾကည့္ၾကဦးစို့။

(ျခိမ့္ထက္)

[ဆက္လက္တင္ျပပါမည္.......]

၀န္ခံခ်က္။ ဤေဆာင္းပါးပါအခ်က္အလက္မ်ားမွာ ကြ်န္ေတာ္၏ ကိုယ္ပိုင္ေတြးေခၚၾကံဆခ်က္မ်ားမဟုတ္ပါ။

AMSCO School Publications မွ ၂၀၀၈ ခုနွစ္တြင္ ထုတ္ေဝေသာ Fundamentals of Calculus , Chapter 5, Maximum and Minimum Values of a Function နွင့္

http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/class/sarfaty/emt669/instructionalunit/parabolas/parabolas.html တို့ကို ကိုးကား၍ တင္ျပျခင္းသာျဖစ္ပါသည္။