စိတ္၀င္စားဖြယ္ Min-Max ပုစၧာမ်ား

maximum/minimum optimization problems - 1

မဂၤလာပါခင္ဗ်ာ။ ဒီ တပတ္ေတာ့ ကဲကုလပ္စ္ရဲ့ အေရးအၾကီးဆံုးအစိပ္အပိုင္းေတြထဲက တခုျဖစ္တဲ့ first derivative အသံုးခ်ပံုေလးကို နဲနဲေလာက္ ေလ့လာၾကည့္ၾကပါစို ့။ အသံုးခ်မယ့္ နယ္ပယ္က အနိမ့္ဆံုး အျမင့္ဆံုး (Minimum – Manimum) ေတြ ရွာတဲ့ေနရာ။ Level ကေတာ့ အလြယ္ေပါ့ဗ်ာ။ လြယ္တာ ခက္တာ နိမ့္တာ ျမင့္တာ အပထား။ ပညာရပ္တခုကို သဲတပြင့္စာေလးပဲျဖစ္ျဖစ္ ေပ်ာ္ေပ်ာ္ရွြင္ရွြင္ အသံုးခ်လိုက္ရတယ္ဆိုရင္ ေလ့လာရကို်း ေဆြးေနြးရကို်း နပ္ပါတယ္။ ကဲ စ ၾကစို ့ဗ်ာ။

အေပါင္းကိန္းနွစ္ခု၏ေပါင္းလာဒ္သည္ ၉ ျဖစ္ ျပီး၊ ကိန္းတစ္ခုနွင့္ အျခားကိန္းတစ္ခု၏နွစ္ထပ္ ေျမွာက္ျခင္းျဖင့္ အျမင့္ဆံုးကိန္း(အၾကီွးဆံုး) ရနိုင္ေသာ ကိန္းတို ့ကိုရွာပါ။

ဒီေနရာမွာ ဘိုလိုက ပိုရွင္းမယ္ထင္တယ္ဗ်..ဒီလို

Find two nonnegative numbers whose sum is 9 and so that the product of one number and the square of the other number is a maximum.

ပထမဆံုး ကိ်န္းေသ ေျပာနိုင္တဲ့ အခ်က္၊

အေပါင္းကိန္းနွစ္ခုေပါင္းလဒ္ = ၉ ဆို ေတာ့ (၎ ကိန္းနွစ္ခု x နွင့္ y ျဖစ္ပါေစ ..ဘာညာေပါ့)

X + y = 9

Y = 9 – x

ကဲ…Calculus ေတြ ဘာေတြ အသာထား။ ေဟာဒီလို ရိုးရိုးေလး အရပ္သားနည္းနဲ ့ပဲ ျဖစ္နိုင္သမွ်ေသာ x နဲ ့ y တန္ဘိုးေတြကို ရွာၾကည့္ျပီး…အမ်ားဆံုး ေျမွာက္လဒ္ ( x into y square) ကို ေပးနိုင္မယ့္ x y အတဲြကို အရင္ရွာၾကည့္ၾကစို့။

x y  y*y    x*y*y
0 9  81     0
1 8  64     64
2 7  49     98
3 6  36     108
4 5  25     100
5 4  16     80
6 3  9      54
7 2  4      28
8 1  1      8
9 0  0      0

ဒီမွာတင္ပဲ အေျဖက ရေနျပီ။

x က ၃ ျဖစ္တဲ့အခိ်န္ y က ၆ ၊ သူ ့နွစ္ထပ္က ၃၆၊ ေျမွက္ေတာ့ ၁၀၈၊

ျမင္တဲ့အတိုင္းပဲ အဲဒါ က အၾကီးဆံုး။ အိုေကေပါ့။

မိတ္ေဆြ။ “ ဟာ….ဒါဆို ဘာ Calculus မ်ား လိုေသးလို ့တုန္းဗ်”

နုပ္။ “ဒီ ေနရာမွာ x နဲ ့ y ရဲ့ variable range က သုည ကေန ကိုး ထိပဲရိွေတာ့…ဒီလို ဇယားေလးဆဲြျပီး..ဘာညာ အာပလာ လုပ္ၾကည့္လို ့ရတာေပါ့…။ တကယ္လို ့ x နဲ ့ y ရဲ့ variable range က သိပ္ၾကီးလာမယ္ဆိုရင္ ဘယ္လြယ္ေတာ့မလဲ..”

[ဥပမာ ကိန္းနွစ္ခု၏ ေပါင္းလဒ္သည္ တစ္သန္းျဖစ္လွ်င္….ဆိုပါေတာ့]

ဒါေၾကာင့္ ဒီပုစၧာကို Calculus နည္းနဲ ့ ကြ်န္ေတာ္တို ့ စမ္းၾကည့္ၾကပါစို ့။

Calculus ဆိုေတာ့ဗ်ာ သူ ့ ရသေလး ဘာေလး ေပၚေအာင္ Graph ေလးဘာေလး အျပင္းေျပ ေလ်ာက္ဆဲြၾကည့္ၾကတာေပါ့။

[တကယ္ေတာ့ မလိုပါဘူးဗ်ာ။ သက္သက္ ကြန္ ့တာပါ။

သက္သက္ ကြန္ ့တယ္ဆိုလို ့လည္း သက္သက္ ဆိုတဲ့ ေကာင္မေလးက သူမ်ားနဲ ့မတူေအာင္ အဆန္းထြင္တယ္လို ့ ဆိုလိုတာ မဟုတ္ပါဘူး..။ (;-)]


ပံု-၁။ y = f (x) = 9 – x Graph

ပံု-၂။ P(product) = x (f(x))²


ကိုင္း..စလိုက္ၾကစို ့ဗ်ာ..

X + y = 9
Y = 9 – x
So,  f(x) = 9 – x
Product P = x * [f(x)]2
          = x * (9 – x)2

Differentiate the equation by using product-rule and chain-rule

Derivative of P (Product) 
1   = (x) [(2) (9 – x) (-1)] + (1) (9 - x)2
2   = (x) [-18 + 2x] + [(9 – x) (9 - x)]
3   = -18x + 2x2 + 81 + -18x + x2
4   = -36x + 3x2 + 81
5   = 3 [x2 – 12x + 27]
6   = 3 (x - 9) (x - 3)

ဒါေၾကာင့္ x = 9 or x = 3


ဇယားမွာျပထားသလို x = 3 ျဖစ္တဲ့အခိ်န္မွာ

y = 6 ျဖစ္ျပီး

Largest Possible Product (Maximum) ကိန္း ၁၀၈ ကို ရတဲ့အခိ်န္ေပါ့။

x = 9 ျဖစ္တဲ့အခိ်န္မွာ ေတာ့

Smallest Possible Product (Minimum) ကိန္း 0 ကို ရတဲ့အခိ်န္ေပါ့။

မိတ္ေဆြတို ့အေနနဲ ့ ဒီေဆာင္းပါးကိုဖတ္ျပီဆိုရင္ differential calculus ရဲ့ အေျခခံ လုပ္ထံုးလုပ္နည္း ေတြျဖစ္တဲ့ Power Rule, Product Rule, Chain Rule နဲ ့ Curve တစ္ခုရဲ့ slope ဟာ zero ျဖစ္တဲ့အခါ minimum or maximum value ရမယ္ ဆိုတဲ့ အေၾကာင္းေတြ သိျပီးျဖစ္မယ္လို ့ယံုၾကည္ပါတယ္။

တကယ္လို ့ နဲနဲပါးပါး ေမ့ေနတယ္ဆိုရင္ေတာင္ လိုင္းနံပါတ္တစ္ ကို နဲနဲေလး ေနွြးေပးလိုက္ရင္ ရျပီဗ်။ က်န္တာေတြက algebra နည္းနဲ ့ ရွင္းသြားတာပဲ။ လြယ္ပါတယ္။ ဒါေၾကာင့္ လိုင္းတစ္ကိုပဲ ရွင္းပါမယ္။

လိုင္း တစ္ကို မေျပာခင္ ကြ်န္ေတာ္တို ့ differentiate လုပ္မယ့္ product equation ကို အရင္ၾကည့္ဗ်ာ

x * (9 – x)2

မဟုတ္လား။

မိတ္ေဆြ။ ဒါနဲ ့ေနပါဦး…ဘာလို ့ အဲဒီ equation ကို Differentiate လုပ္တာတုန္း

နုပ္။ Derivative ကို ရွာခ်င္လို ့ (Differentiation is the process of finding derivatives)

မိတ္ေဆြ။ ဘာလို ့Derivative ကို ရွာခ်င္တာလဲ

နုပ္။ Slope ကို သိခ်င္လို ့ ( Function တခုရဲ့ derivative ဆိုတာ အဲဒီ Function ကို ကိုယ္စားျပုတဲ့ graph/curve ရဲ့ Slope ပဲ)

မိတ္ေဆြ။ ဘာလို ့ Slope ကို သိခ်င္ရတာလဲ

နုပ္။ Slope တန္ဘိုး zero ျဖစ္တဲ့အခါ ဒီ Equation (Product equation) ရဲ့ အနိမ့္ဆံုး သို ့မဟုတ္ အျမင့္ဆံုး တန္ဘိုးကို ရမွာကိုး

မိတ္ေဆြ။ ဘာလို ့ရတာတုန္း

နုပ္။ ကဲကဲ ဒါဆိုလည္း ေက်းဇူးျပုျပီး ပံုကို သာ တခ်က္ၾကည့္လိုက္ဗ်ာ။

(ပုံကို http://www.themathpage.com/acalc/max.htm ရယူထားတာပါ။)

y = f(x) ဆိုတဲ့ ဂရပ္ဖ္ တေလ်ာက္ ၊

အေပၚပိုင္းမွာ C, A, D ဆိုတဲ့ tangent ေတြနဲ ့၊

ေအာက္ပိုင္းမွာ E, B, F ဆိုတဲ့ tangent ေတြရိွတယ္။

မိတ္ေဆြတို ့ျမင္တဲ့အတိုင္းပဲ tangent line ဟာ ေရျပင္ညီျဖစ္သြား တယ္ဆိုရင္ တနည္းေျပာရရင္ x-၀င္ရိုး နဲ ့ ျပိုင္သြားတဲ့ အခိ်န္ဆိုရင္ သူ ့မွာ slope မရိွေတာ့ဘူးေပါ့။ ဆိုလိုတာက slope တန္ဘိုး zero ျဖစ္တဲ့ အခိ်န္ေပါ့ ။

အဲဒီလို slope တန္ဘိုး zero ျဖစ္တဲ့ tangent ေတြက A နဲ ့ B ေပါ့။

A ဆိုတဲ့ အမွတ္ဟာ y တန္ဘိုး အျမင့္ဆံုး ျဖစ္တဲ့အခိ်န္ (MAX)

B ဆိုတဲ့ အမွတ္ဟာ y တန္ဘိုး အနိမ့္ဆံုး ျဖစ္တဲ့အခိ်န္ (MIN)

f(x) ရဲ့ derivative ေခၚ slope ဟာ zero ျဖစ္တဲ့အခိ်န္ေပါ့။


ေအးဗ်ာ စကားမစပ္ ဒါကို အတိအက် ေခၚရရင္ relative maximum/minimum လို ့ ေခၚရပါမယ္။ ဘာလို ့လည္းဆိုေတာ့ local min/max, absolute mim/max ဆိုတာလည္း ရိွေသးတာကို။ အဲဒီ အေၾကာင္း ေနာက္ေနာင္ ၾကံုၾကိုက္တဲ့အခါ partial derivatives အေၾကာင္းေဆြးေနြးတဲ့အခါ အေသးစိပ္ ေျပာၾကတာေပါ့ဗ်ာ။


ေနာက္တခ်က္က အဲဒီလို function တစ္ခုရဲ့ Max Min value ကိုရေစတဲ့၊ x တန္ဘိုး ကို

Critical value လို ့ေခၚတယ္။ ပံုမွာ ျပထားသလို ဆိုရင္

a (max ျဖစ္ေစတဲ ့ x တန္ဘိုး) နဲ ့

b (mim ျဖစ္ေစတဲ ့ x တန္ဘိုး) ဟာ critical value ေတြ ေပါ့ဗ်ာ။


အင္း... ေဒၚမာမာေအး ေလနဲ ့ဆိုရရင္ေတာ့

"ေျပာျပစရာေတြ တပံု........ ၾကီး က်န္ေသးတယ္ " ဗ်။ (;- ဘာ "အပံု" ၾကီး ဘာလိမ့္ ? :-)

ဒါေပမယ့္လည္း

“က်မ္းေလးအံ့စိုး၍” တဖံု

“ငါးသိုင္းမ်ားေတာ့ ဟင္း ဟုန္” ဆိုတာ တမို်း

မျဖစ္ရေလေအာင္ ေခတၱရပ္ဆိုင္းလို ့ ဟပ္ဗဒိုင္း (Half Time) ေပးလိုက္ရပါေၾကာင္း။



ကဲကဲျပန္ေကာက္ၾကဦးစို ့

[ေရွြနိုင္ငံေတာ္ၾကီးမွာ ပညာရွာသလို ၊ သစ္ေျခာက္ပင္ေအာက္ "ပန္း" ေကာက္ ဖို ့ေတာ့ မဟုတ္ဘူးေပါ့ဗ်ာ...]

ရိွတ္မယ့္ equation က


x * (9 – x)2


function ေတြ ေျမွာက္ထားေတာ့ Product Rule သံုးမွာေပါ့

Product Rule အနွစ္ခု်ပ္က

ေရွ ့ဖန္ရွင္ (x ကို) ရိွတ္ ေနာက္ဖန္ရွင္((9 – x)2) ဒီတိုင္းထား

ေနာက္ဖန္ရွင္(((9 – x)2)) ရိွတ္ ေရွ ့ဖန္ရွင္(x ကို) ဒီတိုင္းထား

သူတို ့နွစ္ခုေပါင္း(Add, Plus, Sum ကို ဆိုလိုတာ)။

[မွတ္ခ်က္။ လူ ျပိန္းစကား ေျပာတာမဟုတ္ပါ...Product Rule Process ကို အလြယ္တကူ ျပန္မွတ္မိေအာင္ ေနွြးေပးျခင္းသာ ျဖစ္ပါသည္။]


ပထမဆင့္အေနနဲ ့

ေရွ ့ဖန္ရွင္ (x ကို) ရိွတ္ ေနာက္ဖန္ရွင္((9 – x)2) ဒီတိုင္းထား ဆိုေတာ့

လိုင္းတစ္ရဲ့ အျပာေရာင္ အပိုင္းကို ၾကည့္ဗ်ာ..

[ေရွ ့ေနာက္ လဲွြထားလို ့ မ်က္စိ မလည္ပါနဲ ့။ a + b = b + a ေလဗ်ာ။

အျပာ ေရာင္ ကို ေရွ ့မွာ ထားထား အနီေရာင္ကို ေရွ ့မွာ ထားထား အတူတူပါပဲ]

Power Rule အရ x power 1 ကို ေရွ ့ခ် ေတာ့ 1

x power ကို တစ္ေလွ်ာ့ေတာ့ x to the power zero. x0 = 1

so, 1 * 1 = 1

ေနာက္ဖန္ရွင္((9 – x)2) ဒီတိုင္းထား ဆိုေတာ့ result က

(1) (9 - x)2


ဒုတိယဆင့္အေနနဲ ့

လိုင္းတစ္ရဲ့ အနီေရာင္အပိုင္းကိုၾကည့္ဗ်ာ..

ေရွ ့ဖန္ရွင္( x ကို) ဒီတိုင္းထားဆိုေတာ့ x ပဲဗ်ာ။ ရွင္းေအာင္ လက္သည္းကြင္းထဲ ထည့္ထားတယ္။

ကဲ အခု ေနာက္ဖန္ရွင္((9 – x)2) ကို ရိွတ္ရေတာ့မယ္။

ဒီေနရာမွာ x (minus x) ဟာ ၉ နဲ ့ တဲြေနတဲ့အတြက္ (Composite ျဖစ္ေနတယ္ေခၚတာေပါ့)

Chain Rule ကို သံုးရမယ္။

The chain rule is a rule for differentiating compositions of functions.

ကိုးဗ်။

ေနာက္ဖန္ရွင္((9 – x)2) ကို Chain Rule နဲ ့ ရိွတ္လို ့ရတဲ့ Result က ေလးေထာင့္ကြင္းထဲကဟာေတြ။


(2) (9 – x) (-1)


ဘယ္လို ရလာတာလဲ...။

[Chain Rule Process အတိုခု်ပ္က

Outer ကိုရိွတ္။ Inner ဒီ တိုင္းထား ။ Inner ကို ရိွတ္] ဆိုေတာ့

ဒီေနရာမွာ Outer က Power. 2. Power value 2 ကို ရိွတ္ေတာ့ 2.

Inner က (9 - x).....ဒီတိုင္းထား

ႈInner ကို ရိွတ္ဆိုေတာ့ x ရဲ့ power ေရွ ့ခ်ေတာ့ minus one ေပါ့။

ဒါေၾကာင့္


(2) (9 – x) (-1)


ရလာတာပဲဗို် ့။

ဒီတိုင္းထားထားတဲ့ ေရွ ့ဖန္ရွင္နဲ ့ ေနာက္ဖန္ရွင္ကို ရိွတ္လို ့ရလာတဲ့ Result နဲ ့ေပါင္းလိုက္ေတာ့


(x) [(2) (9 – x) (-1)]


ရလာတာေပါ့။

(သူတို ့နွစ္ခု ေျမွာက္တာေနာ္....add လုပ္တာကို ေျပာတာမဟုတ္ဘူး....ေပါင္းျပီးေရးလိုက္တယ္လို ့ဆိုလိုတာ..။

မိတ္ေဆြ။ သိပါတယ္...ဆရာမလုပ္ပါနဲ ့

နုပ္။ ဟုတ္ကဲ့..ေကာင္းပါျပီ)



ေအးဗ်ာ ...က်န္တာကေတာ့ Algebra နည္းနဲ ့ရွင္းသြားတာဆိုေတာ့...

မိတ္ေဆြတို ့အတြက္

လြန္စြာမွပင္ လြယ္ကူေပမည္ဟု ယံုၾကည္ပါေၾကာင္း...။



ကဲကဲ..ေဟာဒီမွာ မိတ္ေဆြတို ့ အျပင္းေျပ စမ္းၾကည့္ဖို ့ ေနာက္တစ္ပုဒ္လက္ေဆာင္ေပါ့ဗ်ာ....။


maximum/minimum optimization problems -2

 

သစ္ေတာ္ျခံ တျခံထဲမွာ သစ္ေတာ္သီးပင္ အပင္ ၅၀ ရိွတယ္။

တပင္ကို သစ္ေတာ္သီး အလံုး ၈၀၀ သီးတယ္။

အဲဒီ သစ္ေတာ္ျခံထဲကို ေနာက္ထပ္ သစ္ေတာ္သီးပင္တစ္ပင္ ထပ္စိုက္လိုက္တိုင္း

သစ္ေတာ္ျခံထဲမွာ ရိွတဲ့ အပင္တိုင္း အပင္တိုင္း တစ္ပင္ကို ၁၀ လံုးစီ အသီးေလ်ာ့သြားတယ္။


[ေျမဆီ ေျမဩဇာ ေရ စတဲ့ အရင္းအျမစ္ေတြကို အသစ္ထပ္စိုက္လိုက္တဲ့ အပင္ေတြ အတြက္ ခဲြေဝေပးလိုက္ရေတာ့ က်န္တဲ့သစ္ပင္ေတြပါ အားလံုး အထြက္နႈန္းေလ်ာ့သြားတဲ့ သေဘာေပါ့။

ေအးဗ်ာ…ဒီပုစၧာေရးေနရင္း ေရွြနိုင္ငံေတာ္ၾကီး ကို မဆီမဆိုင္ လြမ္းဆြတ္မိရင္း တခု ေတြးမိတယ္္။

ကြ်န္ေတာ္တို ့ေရွြနိုင္ငံေတာ္ၾကီးမွာ

………………တေရာက္ ဒါမွမဟုတ္ ေခတ္ပ်က္သူေဌး တစ္ေရာက္ တိုးလာတိုင္း တိုးလာတိုင္း

ေရွြနိုင္ငံေတာ္ၾကီးက ျပည္သူေတြ ပိုပိုျပီး ဆင္းရဲက်ပ္တည္းလာၾကသလိုမို်း မ်ားျဖစ္ေနမလား ဆိုတာပါပဲ။

ျပည္သူေတြရဲ့ အရင္းအျမစ္ေတြ ဒင္းတို ့ကို ေပးလိုက္ရတာကိုး။

ကဲကဲ ထားပါဗ်ာ..ေရွ ့ဆက္ၾကဦးစို ့ရဲ့။]


ဒါေၾကာင့္ သစ္ေတာ္ျခံထဲကို သစ္ေတာ္ပင္အသစ္ေတြ စိတ္ထင္တိုင္း ထပ္စိုက္လို ့မရဘူး။ ဒါဆိုရင္ ဒီျခံက စုစုေပါင္းထြက္မယ့္ သစ္ေတာ္သီး အလံုးေရ အမ်ားဆံုး ရနိုင္ဖို ့ ေနာက္ထပ္ သစ္ေတာ္ပင္ ဘယ္နွစ္ပင္ ထပ္စိုက္ရမလဲ။


ေအးဗ်ာ ပုစၧာက ရွင္းရဲ့လားေတာ့မသိဘူး။ ေသခ်ာေလးဖတ္ျပီး try ၾကည့္ဗ်ာ။ Solution ကို ေနာက္ေဆာင္းပါးမွာ တင္ျပေပးပါမယ္။


အင္း..ဒါနဲ ့စကားမစပ္ေျပာရရင္ေတာ့

တကယ္လို ့မ်ား ပုစၧာကို ေျပာင္းျပီး

“ေရွြနိုင္ငံေတာ္ၾကီး ၌ ျပည္သူမ်ား အဆင္အေျပဆံုးျဖစ္ေစရန္ …….(သို ့မဟုတ္) ေခတ္ပ်က္သူေဌး ဘယ္နွေရာက္ ထပ္မံ လို အပ္ သနည္း”

လို ့မ်ား ေမးရင္ မိတ္ေဆြ ဘယ္လို တြက္မလဲ။

မတြက္ပါနဲ ့ ဗ်ာ… အေျဖဟာ ေသခ်ာေပါက္ zero, သုည ၊ ဘဲဥ ၊ ၀လံုး ပဲ ျဖစ္ရမယ္။



ရွြင္လန္းခ်မ္းေျမ့ပါေစ။

ျခိမ့္ထက္