စိတ်ဝင်စားဖွယ် Min-Max ပုစ္ဆာများ

maximum/minimum optimization problems - 1

မင်္ဂလာပါခင်ဗျာ။ ဒီ တပတ်တော့ ကဲကုလပ်စ်ရဲ့ အရေးအကြီးဆုံးအစိပ်အပိုင်းတွေထဲက တခုဖြစ်တဲ့ first derivative အသုံးချပုံလေးကို နဲနဲလောက် လေ့လာကြည့်ကြပါစို့။ အသုံးချမယ့် နယ်ပယ်က အနိမ့်ဆုံး အမြင့်ဆုံး (Minimum – Manimum) တွေ ရှာတဲ့နေရာ။ Level ကတော့ အလွယ်ပေါ့ဗျာ။ လွယ်တာ ခက်တာ နိမ့်တာ မြင့်တာ အပထား။ ပညာရပ်တခုကို သဲတပွင့်စာလေးပဲဖြစ်ဖြစ် ပျော်ပျော်ရွှင်ရွှင် အသုံးချလိုက်ရတယ်ဆိုရင် လေ့လာရကျိုး ဆွေးနွေးရကျိုး နပ်ပါတယ်။ ကဲ စ ကြစို့ဗျာ။

အပေါင်းကိန်းနှစ်ခု၏ပေါင်းလာဒ်သည် ၉ ဖြစ် ပြီး၊ ကိန်းတစ်ခုနှင့် အခြားကိန်းတစ်ခု၏နှစ်ထပ် မြှောက်ခြင်းဖြင့် အမြင့်ဆုံးကိန်း(အကြှီးဆုံး) ရနိုင်သော ကိန်းတို့ကိုရှာပါ။

ဒီနေရာမှာ ဘိုလိုက ပိုရှင်းမယ်ထင်တယ်ဗျ..ဒီလို

Find two nonnegative numbers whose sum is 9 and so that the product of one number and the square of the other number is a maximum.

ပထမဆုံး ကျိန်းသေ ပြောနိုင်တဲ့ အချက်၊

အပေါင်းကိန်းနှစ်ခုပေါင်းလဒ် = ၉ ဆို တော့ (၎င်း ကိန်းနှစ်ခု x နှင့် y ဖြစ်ပါစေ ..ဘာညာပေါ့)

X + y = 9

Y = 9 – x

ကဲ…Calculus တွေ ဘာတွေ အသာထား။ ဟောဒီလို ရိုးရိုးလေး အရပ်သားနည်းနဲ့ပဲ ဖြစ်နိုင်သမျှသော x နဲ့ y တန်ဘိုးတွေကို ရှာကြည့်ပြီး…အများဆုံး မြှောက်လဒ် ( x into y square) ကို ပေးနိုင်မယ့် x y အတွဲကို အရင်ရှာကြည့်ကြစို့။

x y  y*y    x*y*y
0 9  81     0
1 8  64     64
2 7  49     98
3 6  36     108
4 5  25     100
5 4  16     80
6 3  9      54
7 2  4      28
8 1  1      8
9 0  0      0

ဒီမှာတင်ပဲ အဖြေက ရနေပြီ။

x က ၃ ဖြစ်တဲ့အချိန် y က ၆ ၊ သူ့နှစ်ထပ်က ၃၆၊ မြှေက်တော့ ၁၀၈၊

မြင်တဲ့အတိုင်းပဲ အဲဒါ က အကြီးဆုံး။ အိုကေပေါ့။

မိတ်ဆွေ။ “ ဟာ….ဒါဆို ဘာ Calculus များ လိုသေးလို့တုန်းဗျ”

နုပ်။ “ဒီ နေရာမှာ x နဲ့ y ရဲ့ variable range က သုည ကနေ ကိုး ထိပဲရှိတော့…ဒီလို ဇယားလေးဆွဲပြီး..ဘာညာ အာပလာ လုပ်ကြည့်လို့ရတာပေါ့…။ တကယ်လို့ x နဲ့ y ရဲ့ variable range က သိပ်ကြီးလာမယ်ဆိုရင် ဘယ်လွယ်တော့မလဲ..”

[ဥပမာ ကိန်းနှစ်ခု၏ ပေါင်းလဒ်သည် တစ်သန်းဖြစ်လျှင်….ဆိုပါတော့]

ဒါကြောင့် ဒီပုစ္ဆာကို Calculus နည်းနဲ့ ကျွန်တော်တို့ စမ်းကြည့်ကြပါစို့။

Calculus ဆိုတော့ဗျာ သူ့ ရသလေး ဘာလေး ပေါ်အောင် Graph လေးဘာလေး အပြင်းပြေ လျောက်ဆွဲကြည့်ကြတာပေါ့။

[တကယ်တော့ မလိုပါဘူးဗျာ။ သက်သက် ကွန့်တာပါ။

သက်သက် ကွန့်တယ်ဆိုလို့လည်း သက်သက် ဆိုတဲ့ ကောင်မလေးက သူများနဲ့မတူအောင် အဆန်းထွင်တယ်လို့ ဆိုလိုတာ မဟုတ်ပါဘူး..။ (;-)]

ပုံ-၁။ y = f (x) = 9 – x Graph

ပုံ-၂။ P(product) = x (f(x))²


ကိုင်း.... စလိုက်ကြစို့...။

X + y = 9
Y = 9 – x
So,  f(x) = 9 – x
Product P = x * [f(x)]2
          = x * (9 – x)2

Differentiate the equation by using product-rule and chain-rule

Derivative of P (Product) 
1   = (x) [(2) (9 – x) (-1)] + (1) (9 - x)2
2   = (x) [-18 + 2x] + [(9 – x) (9 - x)]
3   = -18x + 2x2 + 81 + -18x + x2
4   = -36x + 3x2 + 81
5   = 3 [x2 – 12x + 27]
6   = 3 (x - 9) (x - 3)

ဒါကြောင့်       x = 9 or x = 3


ဇယားမှာပြထားသလို x = 3   ဖြစ်တဲ့အချိန်မှာ

y = 6 ဖြစ်ပြီး

Largest Possible Product (Maximum) ကိန်း ၁၀၈ ကို ရတဲ့အချိန်ပေါ့။

x = 9 ဖြစ်တဲ့အချိန်မှာတော့

Smallest Possible Product (Minimum) ကိန်း 0 ကို ရတဲ့အချိန်ပေါ့။

မိတ်ဆွေတို့အနေနဲ့ ဒီဆောင်းပါးကိုဖတ်ပြီဆိုရင် differential calculus ရဲ့ အခြေခံ လုပ်ထုံးလုပ်နည်း တွေဖြစ်တဲ့ Power Rule, Product Rule, Chain Rule နဲ့ Curve တစ်ခုရဲ့ slope ဟာ zero ဖြစ်တဲ့အခါ minimum or maximum value ရမယ် ဆိုတဲ့ အကြောင်းတွေ သိပြီးဖြစ်မယ်လို့ယုံကြည်ပါတယ်။

တကယ်လို့ နဲနဲပါးပါး မေ့နေတယ်ဆိုရင်တောင် လိုင်းနံပါတ်တစ် ကို နဲနဲလေး နွှေးပေးလိုက်ရင် ရပြီဗျ။ ကျန်တာတွေက algebra နည်းနဲ့ ရှင်းသွားတာပဲ။ လွယ်ပါတယ်။ ဒါကြောင့် လိုင်းတစ်ကိုပဲ ရှင်းပါမယ်။

လိုင်း တစ်ကို မပြောခင် ကျွန်တော်တို့ differentiate လုပ်မယ့် product equation ကို အရင်ကြည့်ဗျာ

x * (9 – x)^2

မဟုတ်လား။

မိတ်ဆွေ။ ဒါနဲ့နေပါဦး…ဘာလို့ အဲဒီ equation ကို Differentiate လုပ်တာတုန်း

နုပ်။ Derivative ကို ရှာချင်လို့ (Differentiation is the process of finding derivatives)

မိတ်ဆွေ။ ဘာလို့Derivative ကို ရှာချင်တာလဲ

နုပ်။ Slope ကို သိချင်လို့ ( Function တခုရဲ့ derivative ဆိုတာ အဲဒီ Function ကို ကိုယ်စားပြုတဲ့ graph/curve ရဲ့ Slope ပဲ)

မိတ်ဆွေ။ ဘာလို့ Slope ကို သိချင်ရတာလဲ

နုပ်။ Slope တန်ဘိုး zero ဖြစ်တဲ့အခါ ဒီ Equation (Product equation) ရဲ့ အနိမ့်ဆုံး သို့မဟုတ် အမြင့်ဆုံး တန်ဘိုးကို ရမှာကိုး

မိတ်ဆွေ။ ဘာလို့ရတာတုန်း

နုပ်။ ကဲကဲ ဒါဆိုလည်း ကျေးဇူးပြုပြီး ပုံကို သာ တချက်ကြည့်လိုက်ဗျာ။

(ပုံကို http://www.themathpage.com/acalc/max.htm ရယူထားတာပါ။)

y = f(x) ဆိုတဲ့ ဂရပ်ဖ် တလျောက် ၊

အပေါ်ပိုင်းမှာ C, A, D ဆိုတဲ့ tangent တွေနဲ့၊

အောက်ပိုင်းမှာ E, B, F ဆိုတဲ့ tangent တွေရှိတယ်။

မိတ်ဆွေတို့မြင်တဲ့အတိုင်းပဲ tangent line ဟာ ရေပြင်ညီဖြစ်သွား တယ်ဆိုရင် တနည်းပြောရရင် x-ဝင်ရိုး နဲ့ ပြိုင်သွားတဲ့ အချိန်ဆိုရင် သူ့မှာ slope မရှိတော့ဘူးပေါ့။ ဆိုလိုတာက slope တန်ဘိုး zero ဖြစ်တဲ့ အချိန်ပေါ့ ။

အဲဒီလို slope တန်ဘိုး zero ဖြစ်တဲ့ tangent တွေက A နဲ့ B ပေါ့။

A ဆိုတဲ့ အမှတ်ဟာ y တန်ဘိုး အမြင့်ဆုံး ဖြစ်တဲ့အချိန် (MAX)

B ဆိုတဲ့ အမှတ်ဟာ y တန်ဘိုး အနိမ့်ဆုံး ဖြစ်တဲ့အချိန် (MIN)

f(x) ရဲ့ derivative ခေါ် slope ဟာ zero ဖြစ်တဲ့အချိန်ပေါ့။

အေးဗျာ စကားမစပ် ဒါကို အတိအကျ ခေါ်ရရင် relative maximum/minimum လို့ ခေါ်ရပါမယ်။ ဘာလို့လည်းဆိုတော့ local min/max, absolute mim/max ဆိုတာလည်း ရှိသေးတာကို။ အဲဒီ အကြောင်း နောက်နောင် ကြုံကြိုက်တဲ့အခါ partial derivatives အကြောင်းဆွေးနွေးတဲ့အခါ အသေးစိပ် ပြောကြတာပေါ့ဗျာ။

နောက်တချက်က အဲဒီလို function တစ်ခုရဲ့ Max Min value ကိုရစေတဲ့၊ x တန်ဘိုး ကို

Critical value လို့ခေါ်တယ်။ ပုံမှာ ပြထားသလို ဆိုရင်

a (max ဖြစ်စေတဲ့ x တန်ဘိုး) နဲ့

b (mim ဖြစ်စေတဲ့ x တန်ဘိုး) ဟာ critical value တွေ ပေါ့ဗျာ။

ကဲကဲပြန်ကောက်ကြဦးစို့

ရှိတ်မယ့် equation က

x * (9 – x)2

function တွေ မြှောက်ထားတော့ Product Rule သုံးမှာပေါ့

Product Rule အနှစ်ချုပ်က

ရှေ့ဖန်ရှင် (x ကို) ရှိတ် နောက်ဖန်ရှင်((9 – x)2) ဒီတိုင်းထား

နောက်ဖန်ရှင်(((9 – x)2)) ရှိတ် ရှေ့ဖန်ရှင်(x ကို) ဒီတိုင်းထား

သူတို့နှစ်ခုပေါင်း(Add, Plus, Sum ကို ဆိုလိုတာ)။

[မှတ်ချက်။ လူ ပြိန်းစကား ပြောတာမဟုတ်ပါ...Product Rule Process ကို အလွယ်တကူ ပြန်မှတ်မိအောင် နွှေးပေးခြင်းသာ ဖြစ်ပါသည်။]

ပထမဆင့်အနေနဲ့

ရှေ့ဖန်ရှင် (x ကို) ရှိတ် နောက်ဖန်ရှင်((9 – x)2) ဒီတိုင်းထား ဆိုတော့

လိုင်းတစ်ရဲ့ အပြာရောင် အပိုင်းကို ကြည့်ဗျာ..

[ရှေ့နောက် လွှဲထားလို့ မျက်စိ မလည်ပါနဲ့။ a + b = b + a လေဗျာ။

အပြာ ရောင် ကို ရှေ့မှာ ထားထား အနီရောင်ကို ရှေ့မှာ ထားထား အတူတူပါပဲ]

Power Rule အရ x power 1 ကို ရှေ့ချ တော့ 1

x power ကို တစ်လျှော့တော့ x to the power zero. x0 = 1

so, 1 * 1 = 1

နောက်ဖန်ရှင်((9 – x)2) ဒီတိုင်းထား ဆိုတော့ result က

(1) (9 - x)2

ဒုတိယဆင့်အနေနဲ့

လိုင်းတစ်ရဲ့ အနီရောင်အပိုင်းကိုကြည့်ဗျာ..

ရှေ့ဖန်ရှင်( x ကို) ဒီတိုင်းထားဆိုတော့ x ပဲဗျာ။ ရှင်းအောင် လက်သည်းကွင်းထဲ ထည့်ထားတယ်။

ကဲ အခု နောက်ဖန်ရှင်((9 – x)2) ကို ရှိတ်ရတော့မယ်။

ဒီနေရာမှာ x (minus x) ဟာ ၉ နဲ့ တွဲနေတဲ့အတွက် (Composite ဖြစ်နေတယ်ခေါ်တာပေါ့)

Chain Rule ကို သုံးရမယ်။

The chain rule is a rule for differentiating compositions of functions.

ကိုးဗျ။

နောက်ဖန်ရှင်((9 – x)2) ကို Chain Rule နဲ့ ရှိတ်လို့ရတဲ့ Result က လေးထောင့်ကွင်းထဲကဟာတွေ။

(2) (9 – x) (-1)

ဘယ်လို ရလာတာလဲ...။

[Chain Rule Process အတိုခုျပ်က

Outer ကိုရှိတ်။ Inner ဒီ တိုင်းထား ။ Inner ကို ရှိတ်] ဆိုတော့

ဒီနေရာမှာ Outer က Power. 2. Power value 2 ကို ရှိတ်တော့ 2.

Inner က (9 - x).....ဒီတိုင်းထား

ှုInner ကို ရှိတ်ဆိုတော့ x ရဲ့ power ရှေ့ချတော့ minus one ပေါ့။

ဒါကြောင့်

(2) (9 – x) (-1)

ရလာတာပဲဗိုျ့။

ဒီတိုင်းထားထားတဲ့ ရှေ့ဖန်ရှင်နဲ့ နောက်ဖန်ရှင်ကို ရှိတ်လို့ရလာတဲ့ Result နဲ့ပေါင်းလိုက်တော့

(x) [(2) (9 – x) (-1)]

ရလာတာပေါ့။

(သူတို့နှစ်ခု မြှောက်တာနော်....add လုပ်တာကို ပြောတာမဟုတ်ဘူး....ပေါင်းပြီးရေးလိုက်တယ်လို့ဆိုလိုတာ..။

မိတ်ဆွေ။ သိပါတယ်...ဆရာမလုပ်ပါနဲ့

နုပ်။ ဟုတ်ကဲ့..ကောင်းပါပြီ)

အေးဗျာ ...ကျန်တာကတော့ Algebra နည်းနဲ့ရှင်းသွားတာဆိုတော့...

မိတ်ဆွေတို့အတွက်

လွန်စွာမှပင် လွယ်ကူပေမည်ဟု ယုံကြည်ပါကြောင်း...။

ကဲကဲ..ဟောဒီမှာ မိတ်ဆွေတို့ အပြင်းပြေ စမ်းကြည့်ဖို့ နောက်တစ်ပုဒ်လက်ဆောင်ပေါ့ဗျာ....။

maximum/minimum optimization problems -2

 =======================================

သစ်တော်ခြံ တခြံထဲမှာ သစ်တော်သီးပင် အပင် ၅၀ ရှိတယ်။

တပင်ကို သစ်တော်သီး အလုံး ၈၀၀ သီးတယ်။

အဲဒီ သစ်တော်ခြံထဲကို နောက်ထပ် သစ်တော်သီးပင်တစ်ပင် ထပ်စိုက်လိုက်တိုင်း

သစ်တော်ခြံထဲမှာ ရှိတဲ့ အပင်တိုင်း အပင်တိုင်း တစ်ပင်ကို ၁၀ လုံးစီ အသီးလျော့သွားတယ်။

[မြေဆီ မြေဩဇာ ရေ စတဲ့ အရင်းအမြစ်တွေကို အသစ်ထပ်စိုက်လိုက်တဲ့ အပင်တွေ အတွက် ခွဲဝေပေးလိုက်ရတော့ ကျန်တဲ့သစ်ပင်တွေပါ အားလုံး အထွက်နှုန်းလျော့သွားတဲ့ သဘောပေါ့။]

ဒါကြောင့် သစ်တော်ခြံထဲကို သစ်တော်ပင်အသစ်တွေ စိတ်ထင်တိုင်း ထပ်စိုက်လို့မရဘူး။ ဒါဆိုရင် ဒီခြံက စုစုပေါင်းထွက်မယ့် သစ်တော်သီး အလုံးရေ အများဆုံး ရနိုင်ဖို့ နောက်ထပ် သစ်တော်ပင် ဘယ်နှစ်ပင် ထပ်စိုက်ရမလဲ။

အေးဗျာ ပုစ္ဆာက ရှင်းရဲ့လားတော့မသိဘူး။ သေချာလေးဖတ်ပြီး try ကြည့်ဗျာ။ Solution ကို နောက်ဆောင်းပါးမှာ တင်ပြပေးပါမယ်။

ရွှင်လန်းချမ်းမြေ့ပါစေ။

ခြိမ့်ထက်